递推数列1,3,4,7,11【递推数列关系式六种变形法】
时间：2020-02-23 07:30:16 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
解决递推数列问题的基本思路是，通过恰当变形，将一般数列问题，转化成等差数列或等比数列予以解决。 一、同加（减）法。即在递推关系式两边同时加上(减去)适当的数或式子。
例1 数列 中， ， ，求 。
解：在 两边同时加上 ，
得 ，
于是，
即 ，
两边同时减2得
所以，
二、同乘（除）法。即在递推关系式两边同时乘以(除以)适当的数或式子。
例2 在数列 中，（ 为正整数），求 。
解：在 两边同乘以 ，得
整理得：
三、迭代法。即反复使用递推关系式找到 与初始条件的关系。
例3 设数列 满足 ， ，其中 为实数。
（1）证明： 对任意 成立的充分必要条件是 ；
（2）设 ，证明： 。
证明：(1)必要性：
充分性：
设 ，对 用数学归纳法证明 。
当 时， 。
假设 ，
则 ，且
由数学归纳法知 对所有 成立。
(2) 设，当 时， ，结论成立。
当时，
，由（1）知 ，
所以 且 ，
四、取倒数法。即通过将递推关系式两边同时取倒数。
例4 已知数列 的首项 ， ， ．求 的通项公式。
解： ，
是以 为首项， 为公比的等比数列，
五、取对数法。 即通过将递推关系式两边同时取对数。
例5 已知数列 中，，求 。
解：由 得：
两边取常用对数得：
进而求得：
六、类比法。即根据递推关系式类比一个式子，再将条件中递推关系式与类比的递推关系式进行相除或相减。
例6 数列 中， ， ，其中 ，数列 满足 ，求数列 的通项公式。
解：由 得：（1）
类似地， （2）
整理得： ，故 于是：
例7 数列 中，， 为常数，
求证：
证明：类比 （1）
得：（2）
得：
整理得：
所以数列 为常数列，
所以
责任编辑李婷婷
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