[利用导数证明不等式应该注意的几个问题]利用导数证明不等式

时间：2020-02-21 11:12:27　来源：雅意学习网本文已影响人

　　函数与不等式、导数知识的综合交汇，一直是高考重点考查的内容。笔者在研究与导数有关的不等式证明问题时发现，这类问题入手点大都相同，但具体处理方式差别却很大。下面谈一谈利用导数证明不等式常见的几个问题，希望对学生有所帮助。
　　一、通过二次求导，判断函数的单调性
　　证明不等式f(x)>g(x),一般步骤是：作差、变形、判断符号，但如果作差后，差的正负判断起来比较困难，那么问题可转化成“只需证明f(x)-g(x)的最小（大）值大（小）于0”。
　　例1 已知x∈[1，+∞]，求证ex>x2。
　　证明：令，f(x)=ex-x2，f＇（x）=ex-2x.
　　令g(x)=ex-2x，g＇(x)=ex-2x，
　　∵x∈[1，+∞）∴ex≥x>2
　　∴g＇(x)>0，g(x)为[1，+∞）的增函数。
　　∴g(x)≥g(1)=e-2>0.
　　∴f＇(x)>0 f(x)为[1，+∞）的增函数
　　∴f(x)≥f(1)=e-1>0 ∴ex>x2
　　点评：本题的出发点是通过判断f＇(x)符号，求f(x)的单调区间，进而求f(x)的最小值。但f＇(x)符号无法直接判断，所以需要再次求导，利用f＇(x)的单调性求f＇(x)的最小值，从而判断f＇(x)的符号。
　　二、利用函数的最值，构造出新的函数不等式
　　先证明一个结论，再利用已证明的结论去证明另一个不等式，这是高考的一个热点题型。
　　例2 f(x)=in(1+x2)+ax，a0时，f(x)mx-2ex2成立，求m的取值范围。
　　解：存在x∈(0，+∞)，使得不等式inx-x3>mx-2ex2成立，等价于不等式lnx-x3>mx-2ex2有解，即-x2+2ex>m在x∈(0，+∞)上有解。
　　令g(x)=-x2+2ex，则g＇(x)=
　　∴x∈(0，e)，g＇(x)>0，x∈(e,+∞)，g＇(x)a恒成立，则f(x)最小值大于a；不等式f(x)>a有解，则f(x)最大值大于a。
　　四、利用极值点x的范围证明不等式，或求参数的范围
　　例4 不等式>在x∈(0，+∞)上恒成立，求整数k的最大值。
　　解:令h(x)=，则h＇(x)=
　　令g(x)=x-ln(x+1)-1,则g＇(x)=>0
　　∴g(x)在（0，+∞）上为增函数
　　∵g(2)=1-ln30
　　∴存在经x0∈(2,3)使得g(x0)=0，在(0,x0)上g(x)0
　　∴h(x)在(0,x0)上为减函数，在(x0,+∞)上为增函数
　　∴h(x0)最小，最小值为，而x0-1n(x0+1)-1=0
　　∴1n(x0+1)=x0-1
　　∴最小值为=x0+1∈(3,4)
　　∴k≤3
　　∴整数k的最大值为3。
　　点评：分离参数求最值，是解决不等式恒成立问题的有效手段。
　　

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