逆向思维有助于解决数学问题|成功者的12个逆向思维

时间：2019-02-09 03:19:26　来源：雅意学习网本文已影响人

　　逆向思维是另类的思维方式，我们如果受某种习惯势力或心理定势的影响，往往按某种思维定势办事，当这种习惯性思路和实践不能带来预期的成果时，我们就应尝试其它途径，而不应该只顾搬用过去不成功的或不够理想的做法，即摒弃习惯。运用逆向思维来解决数学上的问题时，不仅可以成功解决问题，而且有助于大脑思维的发展。运用逆向思维解决数学问题常体现在以下两个方面。
　　一、证明数学命题
　　这主要是指用间接法来证明数学命题。数学证明有直接证明和间接证明两种，反证法（又称为归谬法）是间接证法的一种常用形式。在证明一个命题时，我们若发现无法直接证明或很难直接证明时，就应想到用反证法去证明。这就体现了逆向思维的特点。而常常是这样的思考，会将一些问题看得透彻，最终获得成功。于是，反证法又被誉为是“数学家最精良的一种武器”。
　　那怎样的命题常用反证法来证明呢？一般来说，具有以下特点的命题常用反证法来证明。
　　1.否定式命题。
　　例1.已知m、n为奇数，证明方程x+mx+n＝0没有有理根。
　　证明：由于m、n为奇数，因此设m＝2k+1，n＝2t+1（k，t都为整数），
　　于是方程变为x+（2k+1）x+（2t+1）＝0，
　　要证此方程无有理根，
　　只要证得判别式△不能在有理数范围内开方就行了。
　　其中判别式△＝（2k+1）4（2t+1），显然△是一个整数，
　　∴△不能是一个既约分数的平方。
　　下面只须证明△也不是任何整数（包括偶数和奇数）的平方。
　　（运用反证法）
　　（1）假设△是某一个偶数的平方，设△＝（2p）（p∈Z），
　　即（2k+1）4（2t+1）＝（2p）
　　∴4k+4k-8t-3＝4p
　　即k+k-2t-p＝3/4
　　由于左边为整数，而右边是分数，于是产生矛盾。
　　（2）假设△是某一个奇数的平方，设△=（2p+1）（p∈Z），
　　即（2k+1）4（2t+1）＝2（p+1）
　　∴（2k+1）（2p+1）＝4（2t+1）
　　即（k-p+1）（k-p）=2t+1
　　由于等式左边是偶数，而右边是奇数，于是产生矛盾。
　　综上可知，△不是任何整数的平方。
　　于是此方程没有有理根。
　　∴此命题得证。
　　2.结论的反面较之结论本身更简单、更具体、更易证的命题。
　　例2.证明：如果21是质数，那么p也是质数。
　　证明：假设p不是质数，p=kt（k、t都是整数，且都不等于1和0），
　　21＝21＝（2）1
　　＝（21）［（2）+（2）+…+1］
　　由于后两个因数是整数，其中任何一个都不等于1，也不等于0。
　　∴21一定不是质数，于是产生矛盾，
　　∴原命题成立。
　　对于用反证法来证明时，要注意若结论的反面有多种情况时，要将各种情形穷举出来，一一驳倒后才能肯定原命题成立。这种反证法有时被称为穷举归谬法。
　　例3.已知：在△ABC中，BE、CF分别是∠B、∠C的平分线，且BE＝CF。求证：AB＝AC。
　　证明：如下图1。如果AB≠AC，那么就有AB＞AC或AB＜AC，作平行四边形BEGF。
　　（�）假定AB＞AC,那么有∠ACB＞∠ABC
　　∴∠BCF＞∠CBE
　　∵BF＝EG，BF＞CE
　　∴EG＞CE
　　连接CG，∠ECG＞∠EGC
　　但由于FC＝FG，∠EGC＜∠ECG
　　∴∠FCE＜∠FGE＝∠FBE
　　则有∠ACB＜∠ABC（自相矛盾）
　　由此，AB＞AC是不对的。
　　（�）仿此，可以证明AB＜AC也是不对的。
　　∴AB＝AC
　　利用反证法证明实际上是通过揭示这个命题的相反的判断的错误来证明这个命题的，即是用证明题中命题的逆否命题正确，再因原命题与其逆否命题等价，所以得出原命题正确。
　　二、解决其它数学问题
　　主要是指间接解法。这常常在排列、组合、概率等问题中有广泛的应用。
　　即是：若要求得适合题设条件的数。不是去考虑如何直接得到它，而是先去研究那些不合题意（即不适合题中条件）的数，计算出这些数后，从总的数中（即符合题意和不符合题意的都算），抛去这些不合题意的数，就得到符合题意的种数。
　　例4．5男5女共10个同学排成一排。其中5名男生不排在一起，问有多少种排法？
　　析：若直接分类则较为复杂，可用间接法。从10个人的排列总数中，减去5名男生排在一起的排法数，得5名男生不排在一起的排法数为：
　　AAA＝3542400
　　例5.从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有多少种？
　　析：此题正面分析情形较多，若逆向思考，是转化为总体中除去3个面两两相邻的情形。
　　解：6个面中任意取3个，共有C个，其中3个面两两相邻对应于正方体的顶点个数，有8个。故所有不同的选法有C8=20-8=12个。
　　例6.已知某种高炮在它控制的区域内击中敌机的概率为0.2。要使敌机一旦进入这个区域后有0.9以上的概率被击中，需至少布置几门高炮？
　　解：同样用间接法可简单得到：
　　1-（1-0.2）＞0.9
　　得到n＞10.3
　　∵n∈N
　　∴n＝11
　　∴至少需要布置11门高炮才能有0.9以上的概率击中敌机。
　　例7.设整数k不能被5整除，问xx+k能不能写成两个次数较低的整系数多项式的乘积？
　　证明：假设xx+k能写成两个次数较低的整系数多项式的乘积，
　　则xx+k＝（x+a）（x+bx+cx+dx+e）
　　或xx+k＝（x+ax+b）（x+cx+dx+e）
　　若为前者，则-a为xx+k＝0的根，即（-a）+a+k＝0，
　　所以，这与题设矛盾。
　　若为后者，比较系数知a+c＝0，ac+b+d＝0，ad+bc+e＝0，ae+bd＝-1，be＝k。
　　由前三个等式知c＝-a，d＝ab，e＝2ab-a，
　　代入第四个等式得3ab+1＝a+b，代入第五个等式，
　　得k＝2abab
　　＝2a（3ab+1-a）-ab
　　＝5ab+2（a-a）
　　而a≡a（mod5），所以5�k，这也与题设矛盾。
　　因此结论成立。
　　总之，运用逆向思维来解决数学中的各种问题是非常有效的一种思考方式。它常常能使复杂问题的解答变得简便。
　　
　　参考文献：
　　［1］谭光宙，丁家泰，赵素兰.中学数学解题方法.北京师范大学出版社.
　　［2］十三校协编组编.中学数学教材教法.高等教育出版社.
　　［3］陈传理，张同君主编.竞赛数学教程.高等教育出版社.
　　［4］刘远图，黄建生，范振惠编译.怎样解数学题.地质出版社.
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