[排列组合解题教学中的批判性思维训练]批判性思维是什么意思
时间：2019-01-29 03:25:04 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
1.一例错解及其启示 题目把n个无区别的小球放入k个不同盒中(k≤n),问有多少种不同分法? 这个问题的简单情形是不允许出现空盒,设想n个小球一字排开,每两个小球之间有一个间隔,共有n-1个间隔。由于不能出现空盒,相当于从n-1个间隔中任意选择k-1个间隔来放进隔板,从而共有Ck-1n-1种不同的分法。
对于该问题的一般情形,即允许出现空盒,可以给出下面的思路:出现空盒最多只能有k-1个,如果我们把小球的数目再增加k-1个,共有n+k-1个,这样可按不允许出现空盒的情形来考虑,有Ck-1n+k-1-1种不同
的放法,再从已放好小球的k个盒子中的k个盒
子分别取出一个小球,这样就可能出现空盒子,而这共有k-1种不同的取法,由乘法原理,合乎要求的放法就有Ck-1n+k-2Ck-1k=kCk-1n+k-2种。
上述思路表面上看似乎没有问题,但一个具体例子就能说明上述思路是错误的。把3个无区别的小球放入2个不同盒中,允许出现空盒,有多少种不同分法?问题简化后,可将所有不同放法列举出来:(3,0)(0,3)(2,1)(1,2),共有4种不同的分法,而若按刚才的思路,结果为2C2-13+2-2=6种。
由此可见,若能在解题过程中注重思维的批判性,严格客观地评价思维的结果,就能及时地发现和纠正错误。排列组合中许多错误思路都与上述错误思路类似,具有一定的隐蔽性,往往很难觉察到,因此在排列组合解题教学中注重批判性思维训练很有必要。
2.排列组合解题教学中批判性思维训练的基本途径
2.1树立批判性意识
让学生树立批判性意识,就是在教学活动过程中时刻提醒学生解题不忘反思,学会在问题解决后再回头想一想,检查逻辑上有无漏洞,算法上有无重复或遗漏。由于排列组合问题的结果一般数量较大,难以直接检验其正确性,因此要重视一题多思,通过结果的比较确保其正确性,此外利用小数字简化来验证思路的正确性是一个有效的方法。
2.2辨析错误“症结”,加深认识
在排列组合解题教学中我们发现,如果单是向学生讲解一种正确思路,学生仍无法完全摆脱旧的思维习惯的束缚,类似的错误以后可能会重犯。因此必须通过思路辨析,帮助学生找到令他难以察觉的错误“症结”,从根本上加深对计数原理的正确认识,提高应用能力。
将上述思路进一步细化:把3个无区别的小球放入2个不同盒中,允许出现空盒。出现空盒最多只能有1个,如果把小球的数目再增加1个,共有4个,按不允许出现空盒的情形来考虑,有C2-14-1=3种不同的放法,分别为:(3,1),(1,3),(2,2);再从已放好小球的2个盒子中的1个取出一个小球,结果如下:
(3,1)→(3,0),(2,1);(1,3)→(0,3),(1,2);(2,2)→(1,2),(2,1)。
显而易见,上面结果出现了局部重复的情况,(2,1)与(1,2)两种结果重复出现了两次。找到了错误症结,认识加深了,可以避免类似的错误以后重犯。
2.3确定正确解法,寻找最佳思路
确定正确解法,可以在错误思路的基础上作必要的修正,也可以另辟蹊径。由于最佳思路往往不是一蹴而就的,需要一定的体验、比较和概括,因此批判性思维不仅是针对解题结果,更重要的是对解题活动过程的批判性思维。
错误思路的修正:把小球的数目再增加k个,共有n+k个,按不允许出现空盒的情形来考虑,有Ck-1n+k-1种不同的放法,再从已放好小球的k个盒子中分别取出一个小球,这样就可能出现空盒子,而这只有1种取法,由乘法原理,合乎要求的放法有Ck-1n+k-1种。
由修正的思路发现,“把n个无区别的小球放入k(k≤n)个不同盒中,允许出现空盒”等价于“把n+k个无区别的小球放入k(k≤n)个不同盒中,不允许出现空盒”,这一认识揭示了问题的本质特征,因而可视为一种最佳思路。
2.4加强模式识别与应用
将已解决的问题作为一种基本模式,模式识别的目的之一是观察模式中条件的特征,辨别哪些问题可以转化为这一模式来解。如上面举的“分球入盒”例子属相同元素的分配问题,现考查两个具体例子:
(1)将6个竞赛名额分给4个班级,每班至少1个,不同的分配方案共有多少种?
(2)将4名教师分配到3所中学任教,每所中学至少1名教师,不同的分配方案共有多少种?
因为名额之间是无区别的,所以(1)属相同元素的分配问题,可以利用上述模式;教师之间是有区别的,所以(2)属不同元素的分配问题,就不能利用上述模式。
模式识别的目的之二是对解题思路的应用,考查还有哪些问题也能利用同一思路模式加以解决。下面几种相同元素的分配问题都可利用上述思路模式来解:
(3)将20个相同小球分到3个不同盒中,每盒至少4个,不同的分法有多少种?
解:先往3个盒中分别放入3个小球,再将剩下的11个小球分到3个盒中,每盒至少1个,共有C210种不同的分法。
(4)将20个相同小球分到编号为1,2,3的三个盒中,要求每个盒子中的球数不小于它的编号数,不同的放法有多少种?
解:先在编号为1,2,3的三个盒中依次放入0,1,2个球,再将剩下的17个小球分到3个盒中,每盒至少1个,共有C216种不同的放法。
参考文献
李明振.数学方法与解题研究[M].上海:上海科技教育出版社,2000.7.
作者单位:江苏省泰兴中等专业学校
