[圆锥曲线的统一焦半径公式]椭圆焦半径公式推导
时间：2019-01-06 03:29:32 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
在2009、2010年全国Ⅰ、Ⅱ卷，以及其他省份的高考试卷中都出现了与圆锥曲线焦半径有关的问题，我运用推导的焦半径公式解题，效果非常好，希望能给各位读者的教学与学习带来方便。
定义：我们把圆锥曲线上的点A与焦点F的连线段|AF|叫做该圆锥曲线的焦半径。
公式1：r=
说明：其中r、e分别是对应圆锥曲线焦半径，p是焦点到相应准线的距离，在椭圆和双曲线中p=，在抛物线中p就是焦点到准线的距离，θ是圆锥曲线焦半径与焦点所在的对称轴的夹角。θ∈（0，］。过圆锥曲线的焦点F作一条焦点弦|AB|，得到两条焦半径|AF|、|BF|，不妨设|AF|＞|BF|，则|AF|=，|BF|=。
推导：如图1：设|AB|是过圆锥曲线的焦点F作一条弦|AB|，直线MN是焦点F所对应的准线，它交x轴于点P，记p=|FP|，即为焦准距；r=|AF|，即为焦半径，过A分别作x轴和准线的垂线，垂足分别为M、H，根据圆锥曲线的第二定义，==e，又|AM|=|FP|+|FH|=p+rcosθ，所以有：=e，解得：r=。同理可得|BF|=。
根据上面的推导可得：|AB|=|FA|+|FB|=+=，所以有：
公式2：|AB|=，我们称它为焦点弦长公式，特别当圆锥曲线是抛物线时，|AB|=，利用公式1很容易推导。
下面用2009和2010 年的几道高考题说明公式1、公式2的妙用。
例1.（2010全国I）设F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF交C于点D，且=2，则C的离心率为?摇?摇?摇?摇。
解法1：设椭圆的方程为：+=1，D（x，y），又B（0，b）、F（c，0），则=（c，-b），=（x-c，y），由=2得：x=，y=，代入椭圆的方程+=1，解得e=.
解法2：如图，|FD|=，|FB|=，由题意：cosθ==e，||=2||，所以有：=，即=，解得e=.
点评：两种方法计算量看起来差不了多少，但事实上解法2优于解法1，下面再看一道题。
例2.（2009全国II）已知双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，且斜率为的直线交C于A、B两点，若=4，则C的离心率是（）。
（A） （B） （C）（D）
解法1：由题意AB的方程是：y=（x-c），代入-=1中消去y得：（b-3a）x+6acx-3ac-ab=0。
设A（x，y），B（x，y），
则x+x= （1）xx=（2）
又=4，由定比分点坐标公式得：c=，
即x+4x=5c（3）
联立（1）、（2）、（3）得：e=，选（A）。
解法2：设双曲线C：-=1的右准线为l，过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，BD⊥AM于D，由直线AB的斜率为，知直线AB的倾斜角为60°，
∴∠BAD=60°，|AD|=|AB|.
由双曲线的第二定义有 |AM|-|BN|=|AD|=（||-||）=|AB|=（||+||）.
又∵=4，
∴・3||=||，
∴e=，故选（A）。
解法3：由已知有：||=4||，
而|AF|=，|FB|=，即=4，解得：e=，故选（A）。
点评：本题用三种方法来解答，解法1最常规解法，但计算量太大，作为一道选择题，花费十分钟未必能算出来，效率太低。解法2利用了双曲线的第二定义和平面几何知识，虽简单但有一定难度。显而易见，再没有比解法3更简单的方法了。
读者不妨利用例2的方法练习解答2010年全国II理科卷第12题和2010年辽宁理科卷的第7题。
练1.（2010全国Ⅱ）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，过右焦点F且斜率k（k＞0）的直线与C相交于A、B亮点，若=3，则k=（）。
（A）1（B） （C）（D）2
答案：（B）。
练2.（2010辽宁）设抛物线y=8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足。如果直线AF的斜率为-，那么|PF|=（）。
（A）4 （B）8 （C）8 （D） 16
答案：（B）。
例3.（2010重庆）已知以F为焦点的抛物线y=4x上的两点A、B满足=3，则弦AB的中点到准线的距离为?摇?摇?摇?摇。
解：如图，过A、B分别作已知抛物线准线的垂线，垂足分别为D、C，根据抛物线的定义可知：||=||，||=||，弦AB的中点到准线的距离即直角梯形ABCD的中位线长，记为d，则d=（|AD|+|BC|）=（|AF|+|BF|）=|AB|，由公式1：|AF| =，|FB|=，由已知：||=3||，解得：cosθ=，再由公式2得d===.
通过以上几道2009、2010年的高考原题可以看出，公式1、2是参加高考的同学不得不掌握的一个考点，希望列举的那几个例题的演示能帮助同学们答疑解惑，在以后遇到类似题型达到事半功倍的效果。
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