关于等效单摆周期公式的几点认识:单摆周期公式

时间：2018-12-28 03:40:13　来源：雅意学习网本文已影响人

　　单摆是高中阶段所要处理的一种重要的理想化的物理模型，它由理想化的摆球和摆线组成：1.摆线是质量不计、没有伸缩的无弹力细线；2.摆球密度足够大，且半径比摆线的长度小得多，即可以将其看作是有质量而没有大小、形状的一个质点；3.单摆在摆动的过程中不考虑空气阻力的影响，即认为单摆是一种无阻尼的简谐运动。因此我们在推导单摆的周期公式T=2π时要满足α＜10°（有的教参上是5°）的条件下，可以通过简谐运动的通用周期公式T=2π推导出单摆的周期公式。
　　从推导的单摆公式中可以看出：单摆的周期与振幅和摆球质量无关。因为从力学的角度分析，单摆的回复力是重力沿圆弧切线方向并且指向平衡位置的一个分力，偏角越大，回复力越大，加速度(gsinα)也就越大，在相等时间力走过的弧长也越大，所以周期与振幅、质量无关，只与摆长L和重力加速度g有关。在有些振动系统中L不一定是绳长，g也不一定为9.8 m/s，因此出现了等效摆长和等效重力加速度的问题。
　　物理上有些问题与单摆类似，经过一些等效思想的处理可以套用单摆的周期公式，这类问题统称为“等效单摆”。等效单摆在生活中比较常见，本文主要讲述等效单摆在一些问题中的应用。
　　一、等效单摆
　　等效单摆分等效摆长单摆L′、等效重力加速度单摆g′，以及摆长、重力加速度双重等效单摆三种情况。等效单摆的周期公式为T=2π。
　　1.等效摆长单摆。
　　等效摆长L′不再是悬点到摆球球心的距离，而是指摆动圆弧的圆心到摆球重心的距离，摆动圆弧的圆心即为等效单摆的悬点。
　　例1：双线摆由两根长为L的细线下端栓一质量为m的小球构成，如图1所示，两线夹角为2α，今使摆球在垂直纸面的平面内作小幅度摆动，求其周期。
　　解析：当双线摆在垂直纸面的平面内作小幅度摆动时可以等效为以AB的中心为悬点， OO′长为摆长的单摆，其等效摆长为L′＝Lcosα，故此摆周期为：T=2π。
　　2.等效重力加速度单摆g′。
　　该类单摆的等效重力加速度g′≠g，但摆长仍为悬点到球心的距离。等效重力加速度g′与单摆所在的空间位置、单摆系统的运动状态和单摆所处的物理环境有关。
　　（1）公式中的g′由单摆所在的位置离星球海平面的高度决定，由万有引力公式推导出g′＝G知，g′随地球表面不同位置、不同高度而变化，且在不同的星球上也不相同，在同星球上不同纬度高度也不相同，因此应求出单摆所在处的等效值g′代入公式，即g不一定等于9.8m/s，9.8m/s仅仅指在地球的赤道上的重力加速度。
　　（2）g′由单摆系统的运动状态决定，“等效重力加速度”等于摆球处于平衡位置不振动时，等效摆长“绳子”上拉力对摆球产生的加速度。具体求法：等效重力加速度g′等于摆球相对系统静止在平衡位置时摆线的张力（视重）T与摆球质量m的比值，即g′＝。
　　例2：如图2所示，将摆长为L的单摆放在一升降机中，若升降机以加速度a向上运加速运动，求单摆的摆动周期。
　　解析：单摆的平衡位置在竖直位置，若摆球相对升降机静止，则单摆受重力mg和绳拉力F，根据牛顿第二定律：F－mg＝ma，此时摆球的实重mg′＝F＝m(g＋a)，所以单摆的等效重力加速度g′＝F/m＝g＋a，因而单摆的周期为T=2π=2π。
　　拓展：如图3（a）所示，长为L的轻绳一端系一质量为m的小球，挂于小车支架上的O点，当小车以加速度a向右加速运动时，将小球拉离平衡位置α（＜10°）由静止释放，求其周期。
　　
　　图3（a) 图3（b)
　　解析：当小球相对小车静止时，摆球的平衡位置偏离竖直θ角，如图3（b）中A点为摆球的平衡位置，摆球相对车静止在平衡位置时，绳子拉力为F，则由牛顿第二定律：
　　Fcosθ＝mg ①
　　Fsinθ＝ma ②
　　解得F＝m。
　　悬线拉力产生的加速度，即等效重力加速度g′＝，
　　所以：T=2π。
　　（3）g′还由单摆所处的物理环境决定，如带点小球做成单摆在竖直方向的匀强电场中，回复力应是重力和电场力的合力在圆弧切线方向的分力，所以也有一个等效重力加速度的问题。
　　例3：如图4所示，摆长为L的单摆，小球质量为m，带正电荷，电荷量为 q，处在水平向右的场强为E的匀强电场中，摆球静止时所在平衡位置偏离竖直θ角（tanθ＝），现将小球拉离平衡位置α（＜10°）由静止释放，求其周期。
　　解析：由平衡条件，当小球静止在平衡位置时，摆线的张力F=mg′=，等效重力加速度g′＝/m。所以：T=。
　　3.摆长、加速度双等效单摆。
　　例4：如图5是记录地震装置的水平摆示意图，摆球m固定在边长L、质量可忽略的等边三角形顶点A处，它的对边BC与竖直线成不大的角θ，摆球可沿固定轴BC摆动，则摆球做微小振动的周期是多少？
　　解析：当m做微小摆动时，实际上围绕BC中点O运动，所以等效摆长应是L′＝Lsin60°＝L。
　　当摆球处于平衡位置且不摆动时，沿OA方向的等效拉力F＝mgsinθ＝mg′，即g′＝gsinθ。故摆球的振动周期T=2π。
　　二、单摆模型在其它问题中的应用
　　在处理物理问题时，最好将生活的实例转化为我们熟悉的物理模型，通过构建物理模型，应用熟悉的模型所遵循的规律解答问题是一种最常用的方法，而单摆模型常可以用于解决其它力学问题。
　　例5：如图6（a）所示，A、B为固定在轻杆中点和一个端点的两个小球，杆可绕O点无摩擦地转动，将轻杆从图中水平位置由静止释放，在轻杆下落到竖直位置的过程中（）。
　　A.两球各自的机械能均守恒
　　B.杆、球组成的系统机械能守恒
　　C.A球机械能的增加等于B球机械能的减少
　　D.A球机械能的减少等于B球机械能的增加
　　
　　
　　图6（a）图6（b）
　　解析：构建单摆物理模型，令OA和OB各构成一个单摆如图6（b）所示，则A球的周期比B球的周期小，A球先摆到竖直位置，由此可推知，在本题中A球通过杆对B球做正功，A球的机械能减少，B球的机械能增加，杆、球系统的机械能守恒。故选项B、D正确。
本文为全文原貌未安装PDF浏览器用户请先下载安装原版全文

推荐访问:单摆几点公式周期

关于等效单摆周期公式的几点认识:单摆周期公式

最新文章

热门文章