【立体几何中找二面角的平面角的三法】立体几何二面角求法
时间：2018-12-28 03:31:34 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
摘 要： 在立体几何中求二面角的大小是立体几何学习的重点，但对于学生来讲是一个难点，原因有：（一）空间想象能力欠缺；（二）关于二面角的基础知识掌握得不够扎实；（三）关于找二面角平面角的方法没有系统的掌握。为了更好地解决这些问题关键是系统的掌握方法，总结方法有三种，分别是：定义法、三垂线定理法、射影法。
关键词： 立体几何 二面角 平面角
立体几何的学习对许多学生来讲都比较困难，但若对于每个问题教师能注意方式方法的教学，学生能注意方式方法的学习，则会给学习带来方便。关于立体几何中找二面角的平面角是立体几何学习的重点，但对于学生来讲是一个难点，原因有：（一）空间想象能力欠缺；（二）关于二面角的基础知识掌握得不够扎实；（三）关于求二面角平面角的方法没有系统的掌握。
对于空间想象能力的培养不是短时间能解决的，但是对于二面角基础知识的掌握和如何找二面角平面角的方法是能掌握的，只要用心和注意方式方法，并且二面角的基础知识是求解二面角的前提条件，掌握求二面角的方法是必要条件。
要正确地求出二面角的平面角必须掌握有关的基础知识：（一）二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形；（二）二面角平面的定义：在二面角的棱上任取一点，分别在两个平面内作两射线都与棱垂直，这两条射线所成的角为二面角平面；（三）二面角平面角的范围：［0°，180°］。
在掌握以上基础知识的基础下，要针对不同的题目采取不同的方法。我归纳了一下大概有三种方法：
（一）定义法：根据二面角平面角的定义，在二面角的棱上任取一点，分别在两个平面内作两射线都与棱垂直，这两条射线所成的角为二面角平面角。
例1：如图1，过正方形ABCD的顶点作PA⊥平面ABCD，设PA=AB=a，求二面角B-PC-D的大小。
分析：如图，∵PA⊥平面ABCD，∴∠PAD=∠PAB=Rt∠，又∵正方形ABCD，∴AD=AB，又∵PA为公共边。∴△PAD≌△PAB，∴PD=PB，又∵DC=BC，PC为公共边，∴△PDC≌△PBC，∴过D作DE⊥PC，连接BE，∴BE⊥PC。∴∠DEB为二面角B-PC-D的平面角。找到角是关键一步，接下去是把角放在三角形中用解三角形的方法求角。
解：如图，∵PA⊥平面ABCD，∴∠PAD=∠PAB=Rt∠，又∵正方形ABCD，∴AD=AB，又∵PA为公共边。∴△PAD≌△PAB，∴PD=PB，又∵DC=BC，PC为公共边，∴△PDC≌△PBC，过D作DE⊥ PC，连接BE，∴BE⊥PC。∴∠DEB为二面角B-PC-D的平面角。又由三垂线定理得：△PDC，△PBC为Rt△，DE=BE= ，BD= a，又由余弦定理可得：cos∠BED=- ，∠BED=120°，∴二面角B-PC-D的大小为120°。
（二）垂线定理法：如图2：AE⊥α，AD⊥BC，连接DE，由三垂线定理可得，ED⊥BC，∴∠ADE为二面角A-BC-α的平面角。
例2：过正方体ABCD-A B C D 的顶点B作截面BDC ，求二面角B-D-C -C的正切值。
分析：如图3，在正方体ABCD-A B C D 中，BC⊥平面DC ，过点B作BE ⊥DC ，连接C、E ，由三垂线定理可得BC⊥∠BE C为二面角B-DC -C的平面角。
解：如图，在正方体ABCD-A B C D 中，BC⊥平面DC ，过点B作BE ⊥DC ，连接C、E ，由三垂线定理可得∠BE C为二面角B-DC -C的平面角。又因为∠BCE =90°，令BC=1，CE = ，所以tan∠BE C= 。
（三）射影法，也称面积法。如图4：AD⊥平面BCD，过A作AE⊥BC，连接D、E。由三垂线定理可得，∠AED为二面角A-BC-D的平面角。cos∠AED= ，又因为S = BC・AE，S = BC・DE，所以， = ，所以cos∠AED= ，而△BCD为△ABC在平面BCD的射影，所以令α为二面角的平面角，cosα= 。
例3：在一正方体ABCD-A B C D 中，求平面A BC 与平面ABCD所成的二面角的余弦值。
分析：如图5：在正方体ABCD-A B C D 中，A A⊥平面ABCD，C C⊥平面ABCD，所以△A BC 在平面ABCD上的射影为△ABC，由射影法得，令α为二面角的平面角，cosα= = = = 。
所以平面A BC 与平面ABCD所成的二面角的余弦值为 。
上面关于求二面角平面角的方法在教学过程中我觉得对于学生很好地去掌握找二面角平面角有很大的帮助，让学生去思考问题时有了思考的方法和思路，有利于学生正确地找到角，从而解决求二面角难的问题。
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