[与圆锥曲线焦点有关的一个性质]圆锥曲线焦点弦的有关性质
时间：2020-02-27 07:26:44 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
笔者借助超级画板软件，发现与圆锥曲线焦点有关的一个性质，现介绍如下： 定理1 如图1，设F是椭圆x�2a�2+y�2b�2=1(a>b>0)的一个焦点，M是直线l:x=a(或x=-a)上异于顶点A的任一点，线段FM交椭圆于点P，∠MFA的平分线交直线l于点Q，则PQ是椭圆在点P处的切线.
证明：不妨设F(-c,0)，直线l:x=a,M(a,t),Q(a,t�1),P(x�0,y�0).易知t,t�1,y�0同号，由FQ平分∠MFA，得a+c(a+c)�2+t�2=t�1t-t�1,即t�1=(a+c)t(a+c)�2+t�2+a+c①，又F，P，M共线，故y�0x�0+c=ta+c,即t=(a+c)y�0x�0+c②，将②代入①，化简得t�1=(a+c)y�0(x�0+c)�2+y�2�0+x�0+c=(a+c)y�0a+cax�0+x�0+c=ay�0a+x�0,于是直线PQ的斜率k��PQ=ay�0a+x�0-y�0a-x�0=x�0y�0x�2�0-a�2,从而PQ的方程为y-y�0=x�0y�0x�2�0-a�2•(x-x�0)，注意到b�2x�2�0+a�2y�2�0=a�2b�2,将PQ的方程化简整理得x�0xa�2+y�0yb�2=1，此方程表明PQ是椭圆在点P处的切线.
定理2 如图2-1(图2-2)设F，A分别是双曲线x�2a�2-y�2b�2=1(a>0，b>0)在y轴同侧(或异侧)的焦点和顶点，M是双曲线在顶点A处的切线l上异于顶点A的任一点，线段FM交双曲线于点P，∠MFA(或其外角)的平分线交切线l于点Q，则PQ是双曲线在点P处的切线.
定理3 如图3，设F是抛物线y�2=2px(p>0)的焦点，M是y轴上异于顶点O的任一点，线段FM交抛物线于点P，∠MFO的平分线交y轴于点Q，则PQ是抛物线在点P处的切线.
定理2，定理3类似于定理1的证明可证，此处从略.
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