圆锥曲线解题之道(上)|高考圆锥曲线50大结论
时间：2020-02-23 07:25:01 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
圆锥曲线问题是历年高考的主要内容之一，常以“一小一大”的题型出现，小题以考查圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质为主，大题以考查圆锥曲线与直线、圆的位置关系为主.这类试题表面看题型灵活、运算量大，难于把握，其实题型稳定，只要将基础落实，注意题型与解题方法的总结，解决之也并非难事.�
[HTH]一、加强定义、标准方程、几何性质的对比�[HT]
圆锥曲线的定义、图形、标准方程、几何性质是全面深入理解圆锥曲线的基础.对其进行全面的探讨，对易混淆的概念加以对比、甄别，对带有共性的概念加以概括，可以为解题打下坚实的根基.�
1.全面理解椭圆与双曲线的定义�
对于椭圆与双曲线的定义、方程，教材已给出了明确的说明与推导，但是有一些“隐言”，我们还需全面挖掘.�
[HTH]例1[HT] 已知两定点F�1,F�2和一动点M,则“�|MF�1|�+|MF�2|=2a(2a为正常数)”是“点M的轨迹是以F�1,F�2为焦点的椭圆”的�( ).��
�(A)充分不必要条件�
(B)必要不充分条件�
(C)充要条件�
(D)非充分非必要条件��
[HTH]解[HT]：当2a=|F�1F�2|时，点M的轨迹为线段F�1F�2；当2a＞|F�1F�2|时，点M的轨迹为椭圆;当2a＜|F�1F�2|时，[JP3]点M的轨迹不存在.故|MF�1|+|MF�2|=2a��[KG-*3/4]/�[KG*2]点M的轨迹为椭圆.由椭圆定义可知，反之可行.故选�B�.[JP]�
[HTH]评注[HT]：本题易错选�C�，这不是粗心大意的问题，而是对基本概念认识不全面、不到位.对于双曲线的定义也需作类似的深入理解.�
2.局部甄别椭圆与双曲线的异同�
高考中，与椭圆、双曲线有关的三个常考点为：离心率，a,b,c的关系，双曲线的渐近线.前者在椭圆与双曲线中的表达形式同为e=ca，而后两者却相异，在椭圆中有c�2=a�2－b�2，在双曲线中有c�2=a�2+b�2，且只有双曲线有渐近线，椭圆没有.�
[HTH]例2[HT] 已知椭圆x�2a�2+y�2b�2=1(a＞b＞0)与双曲线x�2m�2－y�2n�2=1(m＞0,n＞0)有相同的焦点F�1，F�2，且一个交点为P，�PF�1�•�PF�2�=0.�
(Ⅰ)求椭圆的离心率的取值范围；�
(Ⅱ)若椭圆的离心率为32，求双曲线的离心率与渐近线方程.�
[HTH]解[HT]：(Ⅰ)设椭圆与双曲线的半焦距均为c，由题意知，|�PF�1�|+|�PF�2�|=2a，�|�PF�1�|－|�PF�2�|=2m.(不妨设|�PF�1�|＞�|�PF�2�|�)解之，得|�PF�1�|=a+m，�|�PF�2�|=a－m.�
又�PF�1�•�PF�2�=0，�
∴ |�PF�1�|�2+|�PF�2�|�2=|�F�1F�2�|�2，�
∴ �(a+m)��2+�(a－m)��2=�(2c)��2，�
即a�2+m�2=2c�2，故�(ac)��2+�(mc)��2=2.�
设椭圆与双曲线的离心率分别为e�1,e�2，则�
1e�2�1+1e�2�2=2，∴1e�2�2=2－1e�2�1.�
由0＜1e�2�2＜1,得0＜2－1e�2�1＜1，�
解之，得22＜e�1＜1.�
(Ⅱ)当e�1=32时，代入1e�2�2=2－1e�2�1，得e�2=62，即cm=62，故m=63c.�
又c�2=m�2+n�2，∴ n=33c，于是双曲线的渐近线为y=±mnx，即y=±2x.�
[HTH]评注[HT]：解决本题需要对椭圆与双曲线的定义、标准方程、离心率及双曲线的渐近线等概念非常清晰，否则解题思路易混乱.�
3.高度概括抛物线的标准方程与图形的关系�
相对于椭圆与双曲线，抛物线的形式更为多样化，而且易引起图形、标准方程、焦点与准线之间的混淆.其实经对比分析，可概括为如下两点：�
(1)对称轴由一次项决定，开口方向由一次项的系数决定；�
(2)焦点与p2相关，准线与焦点对应，结合图形可确定.�
[TPSX3.tif,Y#][TS(1][JZ][HT6H]图1[TS)][HT]
[HTH]例3[HT] 已知抛物线y=－x�2上一点P到其焦点F的距离为54，则点P的坐标为.�
[HTH]解[HT]：抛物线标准方程为x�2=－y，故其对称轴为y轴，且开口方向向下，其图象如图1所示，又2p=1，p2=14，由图1知，F(0,－14)，抛物线的准线方程为y=14.�
设P(x�0,y�0)，则14－y�0=|PF|=54，�
∴ y�0=－1.�
又y�0=－x�2�0，故x�0=±1，�
∴ 点P的坐标为(－1,－1)或(1,－1).�
[HTH]评注[HT]：本题从方程回归到图形，借助图形直观快捷地解决了问题.这得益于从整体上对抛物线的图形、标准方程、焦点与准线的高度概括与把握.�
[HTH]二、关注与圆锥曲线相关典型结论的收集�[HT]
过程繁杂，结果简洁，是解几问题的特色.长期以来吸引着众多数学爱好者投身其中，使得一些新结果层出不穷，不少高考题就是以这些结果为背景编拟的，所以我们平时多收集一些典型的结论，对提高解题效率大有裨益.�
1.与椭圆相关的一些典型结论�
(1)形状：离心率e→1，椭圆越扁.�
(2)同焦点：与椭圆x�2a�2+y�2b�2=1(a＞b＞0)有相同焦点的椭圆方程为x�2a�2+k+y�2b�2+k=1(a＞b＞0,b�2+k＞0).�
(3)距离：①过焦点F�2的弦长中,以垂直F�1F�2的弦(通径)最短；�
②直线l过焦点F�1,与椭圆交于两点A,B,则△ABF�2的周长为定长4a(两次用定义可得)；�
[JP3]③弦长公式:斜率为k的直线与椭圆交于A(x�1,y�1),B(x�2,y�2)两点,则|AB|=1+k�2|x�2－x�1|=1+1k�2|y�2－y�1|.[JP]�
(4)面积：①点M在椭圆上,则焦点三角形△F�1F�2M的面积S��△F�1F�2M�=b�2�tan�∠F�1MF�22(可由定义及余弦定理推导)；�
②直线l过椭圆的左焦点F�1,与椭圆交于两点A,B,则当l⊥F�1F�2时，△ABF�2的面积的最大值为2b�2e(可由S��△ABF�2�=S��△OF�2A�+S��△OF�2B�推导).�
(5)直线的方程：①直线l过椭圆x�2a�2+y�2b�2=1(a＞b＞0)内一点P(x�0,y�0)(非中心),与椭圆交于A，B两点,且点P平分弦AB,则直线l的方程为x�0xa�2+y�0yb�2=x�2�0a�2+y�2�0b�2(设出A，B的坐标,代入椭圆方程后,两式相减,代入P的坐标,可求斜率,进而可求)；�
②直线l与椭圆x�2a�2+y�2b�2=1(a＞b＞0)切于点�P(x�0,�y�0),则直线l的方程为x�0xa�2+y�0yb�2=1(由方程组法可得).�
以上结论请读者根据提示自行推导，这里不再详述，对于双曲线、抛物线的结论亦然.�
[HTH]例4[HT][HTK](2011年全国卷Ⅰ)[HT]椭圆C的中心为原点，焦点F�1,F�2在x轴上，离心率为[SX(][KF(]2[KF)][]2[SX)].过F�1的直线l交C于A,B两点，且△ABF�2的周长为16，那么C的方程为.�
[HTH]解[HT]：由结论(3)的②知，4a=16，即a=4，而ca=22，则c=2[]2，得b�2=8，�
故C的方程为x�216+y�28=1.�
评注：熟悉一些典型结论便于直截了当地处理问题.�
2.与双曲线相关的一些典型结论�
(1)形状：离心率e→1，双曲线越扁.�
(2)同焦点:与双曲线x�2a�2－y�2b�2=1(a＞0,b＞0)有相同焦点的双曲线方程为x�2a�2+k－y�2b�2－k=1(a,b,a�2+k,b�2－k＞0).�
(3)距离：①过右焦点F�2的弦长中,以垂直F�1F�2的弦(通径)最短；�
②直线l过焦点F�1,与双曲线左(下)支交于两点A,B,则|AF�2|+|BF�2|－|AB|=4a.�
(4)面积：①点M在双曲线上,则焦点三角形△F�1F�2M的面积S��△F�1F�2M�=b�2�tan�∠F�1MF�22；�
②直线l过双曲线的左焦点F�1,与双曲线交于两点A,B,则当l⊥F�1F�2时，△ABF�2的面积的最小值为2b�2e.�
(5)渐近线：①两条渐近线互相垂直�两条渐近线为y=±x�等轴双曲线�e=2；�
②以直线y=±kx为渐近线的双曲线方程为y�2－�(kx)��2=λ(λ≠0)；�
③与双曲线x�2a�2－y�2b�2=1(a＞0,b＞0)有相同渐近线的双曲线方程为x�2a�2－y�2b�2=λ(a＞0,b＞0,λ≠0).�
[HTH]例5[HT] 已知双曲线x�2a�2－y�2b�2=1(a＞0,b＞0)的两条渐近线互相垂直,则直线l�1:ax+by+a=0与直线l�2:x+y+k=0(k＞1)的位置关系是.�
[HTH]解[HT]：由（5）中的结论①知，该双曲线为等轴双曲线，即a=b,∴ l�1:x+y+1=0.�
又k＞1,于是l�1∥l�2.�
评注：本题省去了(ba)•(－ba)=－1�a�2=b�2�a=b的推导过程，直接得到了答案.�
3.与抛物线相关的一些典型结论�
(1)形状：p(p＞0)的值越小，抛物线越扁.�
(2)距离：过焦点F的弦长中,以垂直对称轴的弦(通径)最短.�
(3)焦点弦：直线l过焦点F,与抛物线y�2=2px(p＞0)交于两点A(x�1,y�1),B(x�2,y�2),则�
①|AB|=x�1+x�2+p;�
②以AB为直径的圆与准线相切；�
③x�1x�2=p�24,y�1y�2=－p�2；�
④∠AOB为钝角；�
⑤设F′(－p2,0)，则当l⊥F′F时，△ABF′的面积的最小值为p�2.�
[HTH]例6[HT] 直线l过抛物线y�2=4x的焦点F,且与抛物线交于A,B两点,O为原点，则△OAB的面积的最小值为.�
[HTH]解[HT]：由结论（3）中的⑤知，设F′(－1,0)，则S��△ABF′�=2S��△OAB�，当AB⊥x轴时，�(S��△ABF′�)����min��=p�2=2�2=4，故�(S��△OAB�)����min��=2.�
评注：本题的常规解法需分“AB⊥x轴”与“AB与x轴不垂直”两种情况讨论，前者算得△OAB面积的最小值为2，后者需设AB：y=k(x－1)，与y�2=4x联立，运用S��△OAB�=S��△AOF�+S��△BOF�计算S��△OAB�（含有k），再证明S��△OAB�＞2，这恰好重复了结论（3）的⑤的推演，运算量较大.�
平时注重基础知识、基本概念的探究，并多留心收集、推导、整理一些常用的结论，对学习与解题可带来直接的帮助.
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