[浅谈高等代数课程中概念教学的两点心得] 高等代数第四版答案
时间：2019-04-29 03:17:56 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
摘要：《高等代数》是数学专业最重要的专业基础课之一，很多后续课程都与之有着密切的联系。很多学生会觉得高等代数很难学，甚至深不可测，因为不仅内容非常抽象，思想方法与中学很不相同，而且有很多全新的概念。众所周知，对概念的深刻理解是学好高等代数的第一步，是必要条件。笔者结合近几年来自身的实际课堂教学经验，粗略地谈谈对这些抽象枯燥的概念的处理方法.
关键词：高等代数；概念教学；合理比喻
中图分类号：G642.4 文献标识码：A 文章编号：1674-9324（2012）06-0036-02
一、概念在《高等代数》课程中的地位
数学从大方向上可以分为基础数学和应用数学，而基础数学又有三个分支：代数，几何和分析。大学的高等代数课程是一切代数学的基础，通过对它的学习，可以获得关于代数学最基本的知识、最基本的理论和最基本的思想方法。不仅如此，很多理论已经说明，高等代数的相关理论和思想方法已经渗透到其他学科，在数学、物理和化学等不同学科均有十分重要的应用。因此，学好高等代数，你将会终生受益。大家知道，高等代数课程中充满了各种定义概念，所有的理论都是从概念出发，诱导性质及计算方法，最终得到实际应用。由此可见，要想真正学好高等代数，对定义概念的深刻理解和把握是必须的，这是第一步。如果第一步没有走好，可想而知，高等代数就算没有入门，更不要说学得好了。然而，高等代数中的很多概念对我们大一新生来说还是比较抽象和难以理解的，这就需要我们的任课教师在实际课堂教学中以一定的方法来授课，不能只按课本讲，因为课本上定义的写法基本上都是最本质的，最精简的。
二、对概念教学的两点心得
由上面的分析可以知道，要想使学生真正理解定义，教师必须以一定的方法来阐述概念，不能照本宣科。这里主要就笔者的实际课堂教学经验，粗略地谈谈自身处理概念教学的几点心得。事实证明，学生很喜欢这种处理方式，教学效果也不错。由于本人的学识有限，一些观点和方法肯定还有值得商榷的地方，恳请广大同行批评指正。
1.注意概念本身的深刻性，作合理地剖析、总结。众所周知，高等代数中的很多概念，课本上的叙述都是最简洁的，一般说来一个字都不会多；有时比较深刻。这就需要教师以自己通俗易懂的语言来剖析、解读和总结这些深刻抽象的概念。笔者的做法一般是根据概念中的关键词，从字面意思上来理解这个概念，让学生有个总体的认识，然后会认真分析概念中的关键点，让学生掌握概念的本质，最后根据以往的教学经验，针对学生常常理解错误的地方，以“注记”的形式给概念加几条注解，防止学生犯同样的错误。最后以一些简单的例子来让学生更进一步掌握概念。下面举一个具体的案例吧。就以行列式的概念作为例子吧！很多学校用的都是北大版的高等代数教材，它们的第一章是多项式。考虑到学生的接受能力和后续课程的需要，很多教师的处理方式都是先上第二章行列式，等第四章上完后，再上第一章。这样一来，行列式就是学生遇到的第一个高等代数课程中的概念、定义也比较抽象复杂。笔者是这样来处理的，分如下步骤：（a）在黑板上写下完整的定义，然后开始讲解。（b）告诉学生，行列式这个概念中有个“式”字，式就是算式的意思，从字面意思上来理解，行列式就是有一些行和列构成个算式，既然是算式，其结果是一个数值或者一个函数。分别举两个例子来佐证：一个是纯数字的，其结果是一个数值；一个是含有未知量的，其结果是一个函数。（c）然后问学生：两个阶数不同的行列式，其值会相等吗？进一步提示学生，在中学阶段我们学过很多算式，值相等的算式一定一样吗？这个学生肯定知道。然后补充说，行列式归根结底是一个算式，所以值相等的行列式未必一样，阶数也未必相同。然后举一些简单的例子来说明这一点。这样学生就会真正认识到行列式的值与其阶数无关，这也为将来学习到矩阵时理解与矩阵的区别埋下伏笔。（d）把（b）、（c）整理成叙述性文字，以注记形式写出。（e）为了让学生理解行列式的定义：a11 a12 …… a1na21 a22 …… a2n…… …… ……an1 an2 …… amn=
■（-1）■a■a■…a■，以3、4阶行列式作为实例，具体地写出表达式中的每一项，并分析每一项的组成和结构，让学生准确具体地理解上式的内涵。
2.注意概念本身的抽象性，适当地用合理的比喻。高等代数中的很多概念非常抽象，但从数学层面，学生一开始很难全面正确地理解、掌握。这就要求任课教师根据实际情况，选择学生容易接受的一些“合理的比喻”，让学生快速准确地掌握概念。笔者还是通过一个具体的案例来说明。以向量组的极大线性无关组为例：向量组是高等代数的重要内容之一，其中极大线性无关组的概念是一个难点。粗略地说，设A是一个向量组，B是A的一个子向量组，如果B满足如下两条：（1）B本身线性无关；（2）再从A中拿一个向量放到B中，B就线性相关了。则称B是A的一个极大线性无关组。初学者对这个概念理解的要是不全面的话，会影响到后面相关概念和性质的理解。比如一个向量组的极大线性无关组的取法不唯一性、极大线性无关组中所含向量的个数，即秩的不变性等。笔者为了让学生更轻易地理解，做了如下比喻：把整个向量组比作中国；极大线性无关组比作中央领导人。对应于条件（1），就是说中央的各位领导人各负其职，互相不能取代；对应于条件（2），就是说中央一共就那么多的职位，已经没有空缺了，你硬要再塞一个人进来的话，只能会出现某两个人干一份差事的情形，可以相互取代，不再是各负其职了。当然，做了这样的比喻以后，对于极大线性无关组的取法不唯一性也很好说明了：因为中央领导人是人民代表大会选出来的，当然另外一帮人也可能当领导人，或者说每一届都有不同的中央领导人。而对于极大线性无关组中所含向量的个数的不变性更好说明了，不管那一届的领导人，人数是一样的，因为职位数是不会改变的。
当然，对于概念的教法，不同的人肯定有不同的方法。我这里只简单地说明了我常用的方法，由于笔者水平有限，不当之处还望广大读者批评指正。
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基金项目：浙江师范大学数理与信息工程学院代数课程群《高等代数》项目资助。
作者简介：吕家凤（1980-），男，博士研究生，副教授，硕士生导师，从事非交换代数、高校数学教育等研究。
