教学中关于洛必达法则的使用条件:洛必达法则的使用条件
时间：2019-01-29 03:26:02 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
摘 要:在无穷小量的比较中讨论两个无穷小量商的极限问题,它们有的存在,有的不存在,我们称这类极限为未定式。求这类极限既简便又重要的一种方法――洛必达法则。 关键词:法则 使用 条件 推广
洛必达法则在求未定式的极限时,是一种很有用的工具,下面是它的一种常见形式。
定理1 设:(1)函数f(x)及g(x)定义在区间(a,b]上
(2)■ f(x)=■ g(x)=0
(3)在区间(a,b]上存在着有限导数f′(x)及g′(x)
(4)在区间(a,b]上g′(x)≠0
(5)存在极限(有限或无穷)■■=k则也有■■=k
在定理1中,条件(5)的必要性一般高等数学教材中都有介绍,并举有反例。本文先对条件(4)加以分析,然后对定理1作点推广。
定理2 如果函数g(x)在[a,b]内处处有有限导数。且g′(x)≠0,则在[a,b]内g′(x)同号。
证明 若在[a,b]内有α,β(α0,g′(β)0,使
g(α)g(β)。
这说明在区间(α,β)必有一点C达到极大值。因此可推出g′(c)=0,这与条件矛盾。
定理2说明定理1中条件(4)等价于g′(x)在(a,b]内同号,这在有些情况使我们更容易判别条件(4)是否满足。
定理3 设:(1)函数f(x)及g(x)定义在区间(a,b]上
(2)■ f(x)=■ g(x)=0
(3)在区间(a,b]上存在着有限导数f′(x)及g′(x)
(4)存在正数α及A,对所有a0,存在δ>0,当x-a■),
则■■=0
但■=■
≥■≥1
即■■≠0。
这说明对任意g(x),若它不满足定理3中条件(4),则存在f(x)使定理3不成立。从这个意义上说,定理3中条件(4)再不能改善了。
2.定理3中条件(5)要求k有限,若k 为无穷时,则需把条件(4)改成“在(a,b]内g′(x)”或总是不小于零,或总是不大于零。
其证明与定理3类似。
3.关于定理2的证明,严格地说,将用到实函数论知识这里不讨论了。
4.对于其他形式的洛必达法则,我们可用类似的办法来建立类似的定理,例如我们有
定理4 设:(1)函数f(x)及g(x)定义在区间(a,b]上
(2)■ f(x)=+∞,■ g(x)=+∞
(3)在区间(a,b]上存在着有限导数f′(x)及g′(x)
(4)存在正数α及A,对所有a 本文为全文原貌 未安装PDF浏览器用户请先下载安装 原版全文
