圆锥曲线中的范围问题 [圆锥曲线中的定值问题浅析]
时间：2018-12-23 19:41:28 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
摘 要： 在圆锥曲线中常遇到定点定值问题，含参变量的问题对于学生来说通常都比较难；由于需要在变当中寻找不变,因此学生在遇到时常无从下手.本文通过对一些基本题型的研究对此类问题进行简单的一个分析，有助于此类问题的较深入探讨.
关键词： 圆锥曲线 定值 定点 方程组
定值问题在圆锥曲线中常会出现，对如何从变中找出不变这个问题很多学生都感到无从下手，本文通过对此类问题的解析希望能有助于学生或老师的学习与研究.
先来看看抛物线的两个性质：直线过抛物线y=2Px的焦点F，与抛物线交于A，B两点，
性质一：若A（x，y），B（x，y），证：yy=-P，xx=.
解析：（法一）当直线AB垂直x轴时，易得A（，P），B（，-P），所以yy=-P，xx=.
当直线AB不垂直x轴时，A，B在抛物线上，∴A（，y），B（，y），由A，F，B三点共线得：
===，整理得：yy=-P；
上式两边同时平方得：yy=P，∵x=，x=，∴xx=.
（法二）设直线AB方程：x=ky+，联立抛物线方程：y=2Px，得：y-2Pky-P=0.
由韦达定理得yy=-P，又由法一得xx=.
性质二：+ =， 求解方法与上题类似.
从上述经典题型中，我们可以直观感受到定值定点（求定点即求定值）的求解方法.
（1）从特殊入手，求出定值（点），再证明这个值与变量无关；
（2）直接推理，计算，并在计算推理的过程中水运变量，从而得出定值（点）.
在圆锥曲线中，若遇直线与圆锥曲线相交问题，常联立其方程组，代入消元后利用韦达定理.
例1.已知椭圆+=1，过右焦点F作不垂直于x轴的弦交椭圆于A、B两点，AB的垂直平分线交x轴于N，则|NF|∶|AB|等于（ ）
A. B. C. D.
解析：本题是选择题，可采取特殊值入手，不妨设直线为X轴，易得答案B.
解：由已知F（2，0），设直线AB的方程：y=k（x-2）
由y=k（x-2）+=1得：（9k+5）x-36kx+36k-45=0.
设A（x，y），B（x，y），线段AB的中心C（x，y），N（n，0），则由韦达定理得
x+x=，xx=，于是C（，）.
另外由NC⊥AB得：k⊥k，∴=-，∴n=x+ky=.
∴|NF|=|-2|=.
又|AB|==，
∴|NF|∶|AB|=1∶3.
例2．已知抛物线y＝4x上两个动点B、C和点A（1，2），且∠BAC＝90°，则直线BC必过定点 ?摇.
解析：设B（，y），C（，y），BC的中点为D（x，y），则y+y=2y，直线BC：=，即：4x-2yy+yy＝0 ①；又•＝0，∴yy＝-4y-20，代入①式得：
2（x-5）-y（y+2）＝0，则动直线BC恒过x-5＝0与y+2＝0的交点（5，-2）．
由上两例求解可得，只要利用条件，围绕方法，按部就班求解，即可水到渠成.
以下题型中只要抓住上面的求解方式，那么一切将变得简单.
1.直线l与抛物线y＝4x相交于A、B两点． 若•＝-4，证:直线l必过一定点（2，0）.
2.已知：椭圆C：+=1，E，F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明：直线EF的斜率为定值.
3.设轨迹E：-=1与x轴交于B、D两点，在E上任取一点Q（x，y）（y≠0），直线QB，QD分别交y轴于M，N两点.求证:以MN为直径的圆过两定点.
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