反证法导案(教师)
时间：2021-03-03 13:28:50 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
反证法导案 利用 30 分钟左右预习课本第 66-67 页． 一、研究提纲 1．什么反证法？它与分析法有何区别？你能理解反证法的逻辑原理吗？
2．用反证法证明数学命题时，一般是怎样的步骤？
3．遇到什么样的命题时，会考虑用反证法去证明？
二、自学反馈 第 67 页练习 A 三、典型例题 例 1．已知xyyxy x y x 1,1, 2 , 0 , 0 求证：
中至少有一个小于 2．
练习：1．已知数列 nb 的通项公式为13241 nnb .求证：数列 nb 中的任意三项不可能成等差数列．在用反证法证明该命题时，应反设
． 2．否定“自然数 c b a 、 、 中恰有一个偶数”时的正确反设为( C
) A． c b a 、 、 都是奇数
B． c b a 、 、 都是偶数 C． c b a 、 、 或都是奇数或至少有两个偶数 D． c b a 、 、 中至少有两个偶数 例 2．证明：钝角三角形最大边上的中线小于该边长的一半．
例 3．已知平面 α 内有两条相交直线 b a, （交点为 P）和平面 β 平行，求证：平面 α ∥平面 β ．
例 4．设 p 是质数，证明 p 是无理数．
四、巩固提高 1．已知函数 ) (x f 是 ) , ( 上的增函数，且 R b a , ，求证：若 ) ( ) ( ) ( ) ( b f a f b f a f ，则 0 b a ． 证明：∵a＋b≥0，∴a≥－b. 由已知 f(x)的单调性得 f(a)≥f(－b)． 又 a＋b≥0⇒b≥－a⇒f(b)≥f(－a)． 两式相加即得：f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)． 2．若关于 x 的三个方程 0 3 4 42 a ax x ， 0 ) 1 (2 2 a x a x ， 0 2 22 a ax x 中至少一个方程有实数解，求实数 a 的取值范围． 解：若三个方程均无实根，则有 0 231121230 ) 2 ( 4 ) 2 (0 4 ) 1 (0 ) 3 4 ( 4 ) 4 (232 2221aa aaa aa aa a或
123 a 。设 A= 123a x
于是三个方程至少有一个方程有实根的实数 a 的取值范围为 123a a a A C U 或
3．已知 b a, 是异面直线，直线 c 平行于直线 a ，那么 c 与 b 的位置关系为(
)C A．一定是异面直线
B．一定是相交直线 C．不可能是平行直线
D．不可能是相交直线 4.设 S 是整数集 Z 的非空子集，如果 , , a b S 有 ab S ，则称 S 关于数的乘法是封闭的. 若 T,V 是 Z
的两个不相交的非空子集， Z V T 且 , , , a b c T 有 ; , , , abc T x y z V 有 xyz V ，则下列结论恒成立的是（
A
）
A． , T V 中至少有一个关于乘法是封闭的
B． , T V 中至多有一个关于乘法是封闭的 C． , T V 中有且只有一个关于乘法是封闭的
D． , T V 中每一个关于乘法都是封闭的 A.. C B, , V T, , } { V }, { T; D , V , T , } { V }, { T ,; T , , 1 , 1 , ,, , T, 1 , V T, 1 Z, V T :从而本题就选不对 故 的 显然关于乘法都是封闭 时 偶数 奇数 当不对 故 关于乘法不封闭 关于乘法封闭 时 负整数 非负整数 当 另一方面对乘法封闭 从而 即 则 由于则 不妨设 两个集合中的一个中 一定在 故整数 由于 解析 T ab T b a T b aT b a 五、课堂小结 六、课后作业：
课本 67 页练习 A-1，68 页练习 B-2,习题 B-1． 补充习题：
1．设23 3 b a，求证2 b a． 2. q p . 2 , 0 0, p3 3 试用反证法证明：
若 q p q
2. q p 2 q p0 q - p. 0 ) ( 0 ) (, 2 ) )( ( : 2, q p2. q) pq(p6. q) 3pq(p 2. 8 3 3 ) (, 0 , 0 , 22 2 22 2 3 33 33 2 2 3 3 不成立，故 假设相矛盾。
）
但这与（由上两式得：得 又由即。代入上式得：
又证明：q p q pq p q p pqq pq p q pq pq pq q p p q pq p q p 2．已知 0 c b a ， 0 , 0 abc ca bc ab
，求证：
0 , 0 , 0 c b a ． [证明] 用反证法：
假设 a，b，c 不都是正数，由 abc>0 可知，这三个数中必有两个为负数，一个为正数， 不妨设 a<0，b<0，c>0，则由 a＋b＋c>0， 可得 c>－(a＋b)， 又 a＋b<0，∴c(a＋b)<－(a＋b)(a＋b) ab＋c(a＋b)<－(a＋b)(a＋b)＋ab 即 ab＋bc＋ca<－a 2 －ab－b 2
∵a 2 >0，ab>0，b 2 >0，∴－a 2 －ab－b 2 ＝－(a 2 ＋ab＋b 2 )<0，即 ab＋bc＋ca<0， 这与已知 ab＋bc＋ca>0 矛盾，所以假设不成立． 因此 a>0，b>0，c>0 成立． 3．求证：过两条平行线中的一条直线的所有平面，都与另一条直线平行或经过另一条直线．
4．已知数列 } {na 满足：211 a , 111) 1 ( 21) 1 ( 3 nnnnaaaa， ) 1 ( 01 n a an n；数列 } {nb 满足：nb =2 21 n na a ) 1 ( n ．(1)求数列 } {na ， } {nb 的通项公式； (2)证明:数列 } {nb 中的任意三项不可能成等差数列． 解：（I）由题意可知， ). 1 (3212 21 n na a 令 .32, 112n n n nc c a c 则
又 ,43122 1 a c 则数列 } {nc 是首项为 ,431 c 公比为32的等比数列，即 1)32(43 nnc ，故 . )32(431 2 )32(4311 1 2 nnnna a
又 . 0 , 0211 1 n n aa a
故 . )32(431 ) 1 (1 1 n nna
. )32(41] )32(431 [ ] )32(431 [1 1 2 21 n n nn n na a b
（II）用反证法证明：
假设数列 } {nb 存在三点 ) ( , , t s r b b bt s r 按某种顺序成等差数列，由于数列 } {nb
是首项为41，公比为32的等比数列，于是有t s rb b b ，则只可能有s r tb b b 2 2 成立， 1 1)32(41)32(41)32(412 t s t t， 两边同乘 , 2 3r t r t 化简得 . 3 2 2 2 3s t t s r t r t
由于 t s r ，所以上式左边奇数，右边为偶数，故上式不可能成立，导致矛盾. 故数列 } {nb 中任意三项不可能成等差数列.
5.已知 M 是由满足下述条件的函数构成的集合：对任意 M x f ) ( ，①方程 0 ) ( x x f 有实数根；②函数 ) (x f 的导数 ) (xf 满足 1 ) ( 0 x f ． （1）判断函数4sin2) (x xx f 是否是集合 M 中的元素，并说明理由； （2）集合 M 中的元素 ) (x f 具有下面的性质：若 ) (x f 的定义域为 D ，则对于任意 D n m , ， 都存在 n m x ,0 ，使得等式 ) ( ) ( ) ( ) (0x f m n m f n f 成立．试用这一性质证明：方程 0 ) ( x x f 有且只有一个实数根. 解：（Ⅰ）因为①当 0 x 时， 0 ) 0 ( f ， 所以方程 0 ) ( x x f 有实数根 0； ② x x f cos4121) ( ， 所以 43,41) (x f ，满足条件 1 ) ( 0 x f ； 由①②，函数4sin2) (x xx f 是集合 M 中的元素.
…………7 分 （Ⅱ）假设方程 0 ) ( x x f 存在两个实数根 ( , ），则 0 ) ( , 0 ) ( β β f α α f . 不妨设 ，根据题意存在 ) , ( c ， 满足 ) ( ) ( ) ( ) ( c f α β α f β f .
因为 ) ( f ， ) ( f ，且 ，所以 1 ) ( cf . 与已知 1 ) ( 0 x f 矛盾.又 0 ) ( x x f 有实数根， 所以方程 0 ) ( x x f 有且只有一个实数根.
…………14 分
