运用数理统计方法评价学生考试成绩
时间：2021-01-16 20:07:23 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
【摘要】本文运用数理统计方法标准分数法和Hotelling T2检脸法对学生考试成绩进行评价，结果表明此种方法与传统的各科考试成绩相加求和法或算术平均法相比具有明显的合理性和准确性，同时相比统方法又有更强的可运用性。
【关键词】标准分数法;Hotelling T2检脸法
1.引言
学生的各种考试中由于各科考试题的难易程度不同，评分标准不同，其“分值”也不同。仅仅简单的运用传统的评价学生学习成绩方法（各科考试成绩相加求和法或算术平均法）比较确定优劣不够合理。因为如果用此方法比较两个及以上整体（如班级）的学习成绩，就容易使本来没有显著性差异的结果按上述计算排序而造成人为误差，导致评价结果的不合理性。
本文根据学生考试成绩服从正态分布这一特点，对学生考试成绩采用标准分数法，简捷、明确且更趋合理。对两个或多个班级多科考试成绩采用Hotelling T2检脸法加以比较。
2.标准分数法
2.1 标准分数法概念及应用
由于学生考试成绩服从正态分布，作变换Z=X-XS则Z可以看作服从标准正态分布，并称作把考试成绩标准化。然后再将各科之间的标准分数相加进行比较，这样学生成绩在集体成绩分布中的位置也就一目了然了。这种方法叫做标准分数法。其中平均分数，X=1n∑ni=1xi。样本标准差S=1n-1∑ni=1（xi-X）2
2.2 标准分数法举例
湖北工程职业学院建筑技术专业某班38名考生，经计算各科平均成绩如下：质量与安全管理83.92分，房地产开发与经营84.47分，建筑设备工程87.95分;样本标准差S分别为7.89，8.513，5.718。
（1）一学生建筑工程质量与安全管理成绩85分，求该生在班上的排名位置。
将考生成绩标准化得到Z=X-XS=85-83.927.89=0.137
查正态分布表得Φ（0.137）=0.556
比该生考试分数低的考生占55.6%，比该生考试分数低的考生占44.4%，因此该生在班上排名为第17名。
（2）把考试成绩标准化，比较两名学生的综合排名。胡某质量与安全管理92分，房地产开发与经营81分，建筑设备工程88分，总分261分;标准化成绩分别为1.024，-0.408，0.009，总和0625。卢某质量与安全管理87分，房地产开发与经营91分，建筑设备工程84分，总分262分;标准化成绩分别为0.390，0.767，-0.691，总和0.466。
经过甲乙成绩的比较，如果按课程考试总成绩比较的话，甲的成绩261分低于乙的成绩262分，排名应在乙的后面，但是根据标准化成绩进行排名的话，可见，甲的标准化成绩总和0.625大于乙的标准化成绩0.466，因此甲在班上的综合排名应在乙前面。可见，用标准分数法得出的结论与用各科成绩相加求和法得出的结论是不一致的。用各科成绩相加求和法容易使本来没有显著性差异的结果造成人为误差，导致评价结果的不合理性，而用标准分数法更趋合理性。
3.T2检验法举例
Hotelling T2检验法是检验两个总体的均值向量有无显著性差异，其计算步骤如下：
（1）计算两样本的均值向量X1、X2及合并协方差阵U，其中U=1n1+n2-2（L1+L2），L1和L2是样本离差阵合并协方差矩阵，分别为两样本的离差阵。（2）计算U-1。（3）计算T2=n1n2n1+n2（X1+X2）1U-1（X1-X2）。（4）给出临界值α，查T2分布表得T2（m，n）若T2T2（m，n）则拒绝H0，认为有显著差异。或计算F=（n1+n2-p-1）（n1+n2-2）pT2，其中p为变量个数，查F分布表得F0（p，n1+n2-p-1），并作出判断。
实例：根据一二班考试成绩：一班共38人《质量与安全管理》（x1=38）平均分83.92;《房地产开发与经营》（x2=38）平均分84.47;《建筑设备》（x3=38）平均分87.95;二班共25人《质量与安全管理》（x1=25）平均分79.04;《房地产开发与经营》（x2=25）平均分74.6;《建筑设备》（x2=25）平均分87.8。试比较该两个班的考试成绩：
（X-Y）=83.92
84.47
87.95-79.04
74.60
87.80=4.88
9.87
0.15
LX=∑ni=1（Xi-X）′（Xi-X）=2300.76291.42479.84
291.422681.47377.95
479.84377.951209.89
LY=∑ni=1（Yi-Y）T（Yi-Y）=1354.96700.4716.2
700.48030329
716.23291738
S=（LX+LY）/（n+m-2）=59.9316.2619.61
16.26175.611.59
19.6111.5948.33
S-1=1SS*=0.01953-0.00131-0.00761
-0.001310.00587-0.00088
-0.00761-0.000880.02399
T2=38×2538+254.88 9.87 0.15
·0.01953-0.00131-0.00761
-0.001310.00587-0.00088
-0.007610.000880.02399 4.88
9.87
0.15=13.534
F=（n+m-p-1）（n+m-2）pT2=59183×13.534=4.363
F0.01（3.65）=4.13 FF0.01（3.65）
由此可见，通过对三科成绩的综合分析，认为一、二两个班的各科综合成绩有显著差别，且一班的成绩显著优于二班。
4.结论
本文运用Hotelling T2检验综合评价学生的学习成绩，结果说明一班的成绩明显优于二班。两班间各科成绩均有显著差别，且一班各科平均成绩均大于B班，我们可以采用求算术平均比较大小，结果显而易见，这与分别对两个班三科成绩进行比较得出的结果是一致的，证明该种检验法的正确性。故认为对多变量进行分析评价时可采用Hotelling T2检验法。特别是当出现下列情况之一时：（1）两班各科间虽有显著差别，但趋势不一（如A班有两科平均成绩大于B班，有一科小于B班）;（2）两班有些功课的平均成绩有显著差别，有些确无显著差别，就无法得出明确结论。虽然有人将两班各科成绩的原始分数分别合并求出总平均成绩，然后对总平均成绩再进行t检验予以评价，但是不同考试所得成绩并不等值，且不同功课试题的难易程度很难一致，所以简单采用把原始成绩相加得出的总分进行分析评价是不合理的，不能正确反映学生真实水平的差别。为此，本文引进多变量Hotelling检验处理这类资料，认为评价结论明确并且合理。可见，Holelling检验在教学管理工作中有一定的实用价值。
参考文献：
[1]王学仁，王松桂.编译实用多元统计分析[M]，上海科技出版社，1990.9
[2]李心灿.高等数学应用205例[M]，北京：高等教育出版社，1997
