[利用韦达定理求解析几何中的一些数学问题] 解析几何超级韦达定理
时间：2020-03-03 07:22:03 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
在教学数学的解析几何内容中，经常碰到有些题目需利用韦达定理来解答，并且有时利用韦达定理解答某些解析几何题目时解答得很自然、很简单、很美妙．譬如，求直线与二次曲线的相交弦的中点坐标、中点轨迹方程、截得弦的长、或由曲线外一点向曲线引割线，计算该点至两点的线段和积等一类的问题时，这些问题往往可归结为求直线与二次曲线相交弦的端点（x1，y1）、（x2，y2）的坐标，而解直线方程和二次曲线方程组成的方程组，其解便是端点的坐标．但是，若在求相交弦中点坐标或与端点坐标有关的问题，例如求端点之横（纵）坐标之积，相交弦长等时，前面的方法便显得繁琐，其实，对于这类问题，重要的不是求x1、x2各是多少，而是只知它们的积或差是多少，而（x1－x2）2＝（x1＋x2）2－4x1x2，坐标差的问题实质上也是坐标和积的问题，如果将直线方程代入二次曲线方程，便可消去一个未知数（x或y）可得另一个未知数的一元二次方程，由于x1＋x2，x1・x2容易转化得来，因此，再利用韦达定理便可求解析几何中的一些问题了，并且显得很方便也很容易．
一、利用韦达定理求直线与二次曲线交点坐标积的有关问题
例如：过抛物线y2＝2px的焦点的一条直线和这抛物线相交，两个交点的纵坐标是y1，y2求证： y1y2＝－p 2.
分析： 因为y1，y2为直线与抛物线方程所组成的方程组消去x后，所得的一元二次方程的两根，故y1・y2的值可由韦达定理求得而不必逐个求出．
证明：（1）当直线垂直于x轴时，其方程为x＝■.
由此得y1，y2 ＝±p ∴y1y2＝－p 2
（2）当直线与x轴不相垂直时，则其方程可设为
y＝k（x－■）
由 y2＝2pxy＝k（x－■）， 消去x得ky2－2py－p2h＝0
由于y1，y2为该方程的两根
∴ y1・y2＝－■＝－p2
综合⑴⑵可得y1y2＝－p2.
二、利用韦达定理求已知二次函数与x轴交点间距离，确定常数系数的有关问题
例：已知函数y＝x2＋3x＋m，m取何值时，函数图象与x轴交点间距离为5．
分析：只要充分利用一元二次方程根与系数关系，即韦达定理便很简便就解答这一问题．二次函数у＝x2＋3x＋m与x轴交点，纵坐标y＝0，即转变为x2＋3x＋m＝0，设两点横坐标为x1 ,x2，根据已知条件│x1－x2│＝5，则可求m的值了．
解：∵y＝x2＋3x＋m
设函数与x轴交点横坐标为x1，x2，且y＝0.
又由于（x1－x2）2＝（x1＋x2）2－4x1x2 ⑴
由韦达定理得：x1＋x2＝－3， x1x2＝m；x1－x2＝5（x1－x2）2＝52.代入⑴得
∴ 25＝(－3)2－4m
∴ m＝－4
∴ 当m＝－4时，函数图象与x轴交点间的距离为5．
三、利用韦达定理求有关斜率问题后，再求有关直线方程问题
例如：在双曲线x2－y2＝1左右两支之间有一点P（1，2），过P作一直线L，与双曲线交于M，N，并使M，N恰被P平分，求C的方程．
分析：因为已知要求的直线方程L，已过点P，所以，只需求出C的斜率问题就可以解决了，也即可写出L的方程．由于已知点P为L与双曲线相交所得线段MN的中点，故求得MN的中点的含k的表达式即可求得k值．
解：设L的斜率为k，由于L过P（1，2），故L的方程为y－2＝
k（x－1）.
由方程组 x2－y2＝1y－2＝k(x－1) 消去y，得
（1－k2）x2＋2（k2－2k）x－k2＋4k－5＝0 ⑴
∵ M，N为L与双曲线的交点
∴ M，N的横坐标x1，x2即为⑴方程的两个根，由韦达定理得x1＋x2＝－■
∴ MN的中点的横坐标为：x＝■＝－■
∵x＝1即－■＝1， 解得k＝■.
故L的方程为y－2＝■（x－1），即x－2у＋3＝0.
四、已知二次函数图象与x轴的二交点间距离利用韦达定理确定二次函数的待定数值问题
例：已知二次函数y＝x2－2■x－2(2m＋1)(m－1)（m为实
数），当m为何值时，函数的图象与x轴的二交点间的距离为1．
分析：若设x1，x2为二次函数的图象与x轴的两个交点之横坐标，两交点的距离为│x1－x2│，再利用韦达定理便可求m的值了．
解：已知y＝x2－2■x－2(2m＋1)(m－1)（m为实数）
设x1，x2为函数图象与x轴的二交点的横坐标，且y＝0，则│x1－x2│为两点间的距离．
又∵（x1－x2）2＝（x1＋x2）2－4x1x2＝[－2 ■]2－4・[－2(2m＋1)(m－1)]＝
4（2－4m2）＋8（2m2－2m＋m－1）＝－8m
又∵ │x1－x2│＝1
∴（x1－x2）2＝1
∴ －8m＝1，即 m＝－■
∴ 当m＝－■时，函数的图象与x轴的的二交点间的距离为1．
由此可见，韦达定理在解析几何中的妙用巧用.除此之外，韦达定理在解析几何中还有更多方面的应用，有待我们去深入研究去探索．韦达定理不但在数学的解析几何中得到应用，然而，在三解形中、在平面几何中、在代数中都可以利用韦达定理来解决一些数学问题，总之，韦达定理在数学教学中应用得非常广泛，有时也非常美妙、非常简便，常常起到事半功倍之效，只要我们认真研究探索，定会找出利用韦达定理解决更多更好更难的数学问题．
责任编辑 罗峰
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