[剪刀不等式] 琴不等式的证明
时间：2020-02-23 07:27:08 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
文［2］辨析了文［1］一个错误命题后,接着证明了一个真命题―― 定理1 如果x>0时,f(x)、g(x)连续可导,且limx→0f(x)=limx→0g(x),则当x≥0(或x>0)时,若f ′(x)≥g′(x)恒成立,那么f(x)≥g(x)恒成立．
拓宽定理1的条件、细化定理1的结论,我们可以进一步得到――
定理2 (1)设区间D=(a,b)或(a,b］,相异函数f(x)、g(x)在D上连续可导,如果对于任意x∈D恒有f ′(x)>g′(x),且limx→a+f(x)≥limx→a+g(x),那么对于任意x∈D恒有f(x)>g(x)；
(2)设区间D=［a,b)或［a,b］,相异函数f(x)、g(x)在D上连续可导,如果对于任意x∈D恒有f ′(x)≥g′(x),且f(a)≥g(a),那么对于任意x∈D恒有f(x)≥g(x)．
证明 (1)记h(x)=f(x)-g(x),其中x∈D,由于f ′(x)>g′(x),则h′(x)=f ′(x)-g′(x)>0,则函数h(x)在区间D=(a,b)或(a,b］上递增,则对于任意x∈D恒有
h(x)>linx→a+h(x)=linx→a+［f(x)-g(x)］
=linx→a+f(x)-linx→a+g(x)≥0,
即恒有f(x)-g(x)>0,即恒有f(x)>g(x)．
(2)同理知h(x)=f(x)-g(x)区间D=［a,b)或［a,b］上递增,则对于任意x∈D恒有
h(x)≥h(a)=f(a)-g(a)≥0,
即恒有f(x)-g(x)≥0,即恒有f(x)≥g(x).证毕．
同理,我们可以推导出定理2的类比结论――
定理3 (1)设区间D=(a,b)或［a,b),相异函数f(x)、g(x)在D上连续可导,如果对于任意x∈D恒有f ′(x)g(x)；
(2)设区间D=(a,b］或［a,b］,相异函数f(x)、g(x)在D上连续可导,如果对于任意x∈D恒有f ′(x)≤g′(x),且f(b)≥g(b),那么对于任意x∈D恒有f(x)≥g(x)．
观察定理2、3的示意图,它们形似张开的剪刀,所以笔者形象地统称定理2、3的结论不等式为剪刀不等式.下面例谈这些剪刀不等式的应用价值．
例1 (2008年西北工业大学自主招生题)已知函数f(x)=alnx+12x2．
(Ⅰ)求f(x)的单调区间；
（Ⅱ）当a=1时,求证f(x)的图象不在函数g(x)=23x3-16(x>0)的图象的上方．
第(Ⅰ)小题思路明确,不少考生可以分类求出f(x)的单调区间.第(Ⅱ)小题意指当a=1时不等式f(x)≤g(x)对于任意x∈(0,+∞)恒成立,下面用定理2、3来简捷证明这道小题．
证明 当a=1时,f(x)=lnx+12x2(x>0),则f(1)=12=g(1)．
求导得f ′(x)=1x+x，g′(x)=2x2,则f ′(x)-g′(x)=1+x2-2x3x=(x-1)(2x2+x+1)-x．
①当x∈(0,1］时,f ′(x)-g′(x)≥0,即就是g′(x)≤f ′(x).又已求g(1)=f(1),则运用定理3(2)得g(x)≥f(x)．
②当x∈［1,+∞)时,f ′(x)-g′(x)≤0,即就是g′(x)≥f ′(x).又已求g(1)=f(1),则运用定理2(2)得g(x)≥f(x)．
总之,当a=1时g(x)≥f(x)即f(x)≤g(x)对于任意x∈(0,+∞)恒成立,故原结论正确.证毕．
评注 当a=1时,再考虑到f(1)=g(1)且f ′(1)=g′(1)可知,函数y=f(x)与y=g(x)(x>0)的图象在点(1,12)处有公切线,且具有分界作用．
例2 (2011年高考全国课标数学卷末题)已知函数f(x)=alnxx+1+bx,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x+2y-3=0．
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）如果当x>0且x≠1时,f(x)>lnxx-1+kx,求k的取值范围．
第(Ⅰ)小题比较容易,不少考生可以轻松求出a=1、b=1.第(Ⅱ)小题内涵丰富,命题组提供的解题过程的关键一步是如何求解含有参数k的导数不等式(k-1)(x2+1)+2xx2>0(x>0且x≠1),这一步的思维跨度较大,学生不易掌握；这里,笔者运用定理2、定理3再来解答这道面向山西、海南、河南、吉林、黑龙江、宁夏、新疆等七省区的高考小题,期能开拓思路．
解 已求a=1、b=1,则f(x)>lnxx-1+kx等价于 lnxx+1+1x>lnxx-1+kx(其中x>0且x≠1),即1-kx>2x2-1lnx(x>0且x≠1).
(※)
假定k≥1,不妨取x=e代入不等式(※)得出1-ke>2e2-1,这与正负数相矛盾,于是初步得出klnx.记h(x)=x2-12x、g(x)=lnx,则不等式(※)等价于(1-k)h(x)>g(x)．
当x∈(1,+∞)时,由于linx→1+h(x)=0=linx→1+g(x),且h′(x)-g′(x)=(12+12x2)-1x=(x-1)22x2>0,则h(x)>g(x)当x∈(1,+∞)时恒成立． 于是,根据定理2(1)知当1-k≥1即k≤0时,(1-k)h(x)≥h(x)>g(x)．
注意h(1)=0=h(1)且h′(1)=1=g′(1),则两函数h(x)、g(x)的图象在点(1,0)处有公切线,则两函数h(x)、g(x)的图象在点(1,0)处也相切.于是,当01)有交点,则(1-k)h(x)>g(x)当x∈(1,+∞)不恒成立．
所以,如果当x>1时f(x)>lnxx-1+kx,则k的取值范围是(-∞,0］．
②当x∈(0,1)时,不等式(※)等价于
1-k2(x-1x)0,即就是当x∈(a,x0)时恒有h(x)g(x)．
最后用一个简单反例来说明剪刀不等式的逆命题是假命题：比如,函数f(x)=4-x2，g(x)=x-2在［-2,2］上连续可导,f(2)=0=g(2),且对于任意x∈［-2,2］恒有f(x)≥g(x),但是对于任意x∈［-2,2］就不都能满足f ′(x)≥g′(x)．
参考文献
［1］ 张润平.高等数学背景下一类压轴题的简解［J］.中学数学,2011(2)．
［2］ 曹军、孙芸.一个错误命题与一类问题简解［J］.中学数学杂志,2011(5)．
［3］ 甘大旺.函数y=ax+bx的性质及应用［J］.数学通讯,1992(2)．
