高中数学导数解题技巧【例谈导数在高中数学中的应用】

时间：2019-02-08 03:20:04　来源：雅意学习网本文已影响人

　　近几年高考命题倾向于考查新教材的内容，而考查综合分析问题、解决问题的能力，也已成为高考命题的新热点.高考考试大纲指出：“对运算能力的考查主要是算理和逻辑推理的考查，考查时以代数运算为主.”因此，对于高中的一些数学问题，若利用导数求解，就能使问题简单化，显示出其解法的优越性.本文就导数在高中数学中的应用作一下探讨，旨在探究解题规律.
　　一、在解析几何中的应用
　　例1.求曲线y=3x-x过点A（2，-2）的切线方程.
　　分析：曲线过点A处的切线与曲线在点A处的切线不同，前者既包括点A处的切线，又包括过点A但切点在另一点处的切线.
　　解：设切点为P（x，y），由导数的几何意义知，切线的斜率k=y′|=3-3x，∴在点P处的切线方程为y-y=（3-3x）（x-x）.又切线过点A，故-2-（3x-x）=（3-3x）（2-x），整理得xx-3x+4=0，即（x+1）（x）=0，∴x=-1或x=2.
　　∴当x=-1时，切线方程为y=-2；当x=2时，切线方程为9x+y-16=0.
　　二、在不等式中的应用
　　例2.（2004年全国高考题）设函数g（x）=xlnx，0＜a＜b，证明：0＜g（a）+g（b）-2g＜（b-a）ln2.
　　分析：不等式中的变量为区间的两个端点，所以设辅助函数时可把其中的一个端点设为自变量即可.
　　证明：设f（x）=g（a）+g（x）-2g.
　　则f′（x）=g′（x）-g′=lnx-ln.
　　当x=a时，f′（x）=0;当0＜x＜a时，f′（x）＜0，当x＞a时，f′（x）＞0.
　　∴当x=a时，f（x）=f（a），∴f（b）＞f（a）＞0，即0＜g（a）+g（b）-2g.
　　又设h（x）=f（x）-（x-a）ln2，则h′（x）=f′（x）-ln2=lnx-ln（a+x）.
　　当x＞0时，h′（x）＜0，∴h（x）在（0，+∞）上是减函数.∴h（b）＜h（a）=0.
　　即g（a）+g（b）+2g（）＜（b-a）ln2.
　　综上所述，0＜g（a）+g（b）-2g＜（b-a）ln2.
　　三、在函数中的应用
　　例3.（2008年全国高考题）已知函数f（x）=x+ax+x+1，a∈R.
　　（1）讨论函数f（x）的单调区间；
　　（2）设函数f（x）在区间-，-内是减函数，求a的取值范围.
　　解：（1）f（x）=x+ax+x+1，求导：f′（x）=3x+2ax+1.
　　当a≤3时，Δ≤0，f′（x）≥0，f（x）在R上递增；
　　当a＞3，由f′（x）=0，求得两根为x=，
　　即f（x）在-∞，上递增，在，上递减，在，+∞上递增.
　　（2）（法一）∵函数f（x）在区间-，-内是减函数，，递减，∴≤-≥-，且a＞3，解得：a≥2.
　　（法二）只需求3x+2ax+1≤0在区间-，-恒成立即可.
　　令g（x）=3x+2ax+1，∴只需：
　　g（-）≤3×-2a×+1≤0g（-）=3×-2a×+1≤0∴a≥a≥2∴a≥2.
　　∴a的取值范围为［2，+∞）.
　　四、在生活中的应用
　　例4.（2008高考江苏卷17）如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的顶点A、B及CD的中点P处，已知AB=20km，BC=10km，为了处理三家工厂的污水，现要在该矩形ABCD的区域上（含边界），且与A、B等距离的一点O处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO，BO，OP，设排污管道的总长为ykm，
　　（1）按下列要求建立函数关系式：
　　①设∠BAO=θ（rad），将y表示为θ的函数；
　　②设OP=x（km），将y表示为x的函数.
　　（2）请你选用（1）中的一个函数关系，确定污水处理厂的位置，使铺设的排污管道的总长度最短.
　　分析：（1）已经指明了变量，只需按照有关知识解决即可；（2）根据建立的函数模型，选择合理的模型和方法解决.
　　解析：（1）略解：①所求函数关系式为y=+10（0≤θ≤）
　　②所求函数关系式为y=x+2（0≤x≤10）
　　（2）方法一：选择函数模型①
　　y′==
　　令y′=0得sinθ=，∵0≤θ≤∴θ=，当θ∈（0，）时y′＜0，y是θ的减函数；当θ∈，时y′＞0，y是θ的增函数.所以函数在θ=处取得最小值y=+10=10+10，θ∈0，.
　　∴当θ=时，AO=BO==（km）.因此，当污水处理厂建在矩形区域内且到A，B两点的距离均为km时，铺设的排污管道的总长度最短.
　　方法二：选用函数模型②：
　　y′=1+，令y′=0则=20-2x，
　　平方得3x-60x+200=0，解得x=10±，由于0≤x≤10，
　　因此当x=10-时，这个函数有最小值，此时OQ=.因此，当污水处理厂建在矩形区域内且到两点的距离均为km时，铺设的排污管道的总长度最短.
　　通过以上例题的分析可以看出，综合性试题是考查数学能力和数学素养的极好素材，同学们应引起足够的重视.
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