【一道高考题的多解与多变】洛必达法则解高考题

时间：2019-01-30 03:36:37　来源：雅意学习网本文已影响人

　　题目两根相距d=0.20m的平行金属长导轨固定在同一水平面内,并处于竖直方向的匀强磁场中，磁场的磁感应强度B=0.2T，导轨上面横放着两条金属细杆，构成矩形回路，每条金属细杆的电阻为r=0.25Ω，回路中其余部分的电阻可不计。已知两金属细杆在平行于导轨的拉力的作用下沿导轨朝相反方向匀速平移，速度大小都是v=5.0m/s，如图1所示。不计导轨上的摩擦。
　　(1)求作用于每条金属细杆的拉力的大小。
　　(2)求两金属细杆在间距增加0.40m的滑动过程中共产生的热量。（1995年全国高考题）
　　这类“导电滑轨”问题，要涉及到法拉第电磁感应定律、磁场对电流的作用、金属杆的“运动、受力和平衡”、电路中的能量转化等物理知识。它要求学生能根据物体的受力情况，对物体的运动性质、运动速度和加速度的变化情况作出准确的判断，对电路中能量转化情况作出分析。这类问题综合性强，涉及的物理过程复杂多变，因此是历年来高考的热点问题。
　　解法１ (1)当两金属杆都以速度v匀速滑动时,每条金属杆中产生的感应电动势分别为：ε1=ε2=Bdv①
　　由闭合电路的欧姆定律,回路中的电流强度：I=ε1+ε22r②
　　因拉力与安培力平衡,作用于每根金属杆的拉力的大小为：F1=F2=IBd③
　　由①②③式并代入数据得：
　　F1=F2=B2d2vr
　　=(0.2)2×(0.2)2×5.00.25N
　　=3.2×10�-2N
　　(2)设两金属杆之间增加的距离为△L,则两金属杆共产生的热量
　　Q=I2・2r・ΔL2v④
　　将④代入数据得：Q=1.28×10�-2J
　　解法2 (1)当两金属杆都以速度v匀速滑动时,每条金属杆中产生的感应电动势均为 , 回路中的总电动势为ε=2Bdv①
　　由闭合电路的欧姆定律,回路中的电流强度为I=ε2r②
　　作用于每根金属杆的拉力的大小(相等)设为F，因拉力与安培力平衡,则有：
　　F=BId③
　　由上述三式并代入数据解得：F=3.2×10�-2N
　　(2)同解法1。
　　解法3 （1）两金属杆都以速度v匀速滑动，据能的转化和守恒定律知，拉力的机械功率转化为电路的电功率，因而有：
　　f・ 2v=ε22r①
　　而ε=2Bdv②
　　由①②式并代入数据得：F=B2d2vr=（0.2）2×(0.2)2×5.00.25N=3.2×10�-2N
　　（2）据能的转化和守恒知:Q=WF=F・ΔL=3.2×10�-2×0.40J=1.28×10�-2J
　　上述的解法1和2，按照常规思路，分步进行解答，一目了然。解法3，从能量的角度入手，别开生面，避繁就简，使问题迅速获解。这是一种跨跃的创新思维。
　　变换1 两根平行的金属导轨，固定在同一水平面上，磁感应强度B=0.50T的匀强磁场与导轨所在平面垂直，导轨的电阻很小，可忽略不计。导轨间的距离l=0.20m。两根质量均为m=0.10kg的平行金属杆甲、乙可在导轨上无摩擦地滑动，滑动过程中与导轨保持垂直，每根金属杆的电阻为R=0.50Ω。在t=0时刻，两杆都处于静止状态。现有一与导轨平行、大小为0.20N的恒力F作用于金属杆甲上，使金属杆在导轨上滑动。经过t=5.0s，金属杆甲的加速度为a=1.37m/s2，问此时两金属杆的速度各为多少？
　　本题与例1看似相同，但两金属杆的运动大相径庭。前者的金属杆做匀速平移，而后者，两金属杆由静止开始做变加速运动――。
　　解设任一时刻t两金属杆甲、乙之间的距离为x，速度分别为v1和v2，经过很短时间Δt，杆甲移动距离v1Δt，杆乙移动距离v2Δt，回路面积改变
　　ΔS =［(x-v2Δt)+v1Δt］+t-lx=(v1-v2)lΔt
　　由法拉第电磁感应定律，回路中的感应电动势ε=BΔSΔt
　　回路中的电流i=ε2R
　　杆甲的运动方程F-Bli=ma
　　由于作用于杆甲和杆乙的安培力总是大小相等，方向相反，所以两杆的动量时为0）等于外力F的冲量Ft=mv1+mv2
　　联立以上各式解得
　　v1=12［Ftm+2RB2F(F-ma)］
　　v2=12［Ftm-2RB2I2(F-ma)］
　　代入数据得v1=8.15m/s；v2=1.85m/s
　　变换2 两根足够长的固定的平行金属导轨位于同一水平面内，两导轨间的距离为l。导轨上面横放着两根导体棒ab和cd，构成矩形回路，如图3所示。两根导体棒的质量皆为m，电阻皆为R，回路中其余部分的电阻可不计。在整个导轨平面内都有竖直向上的匀强磁场，磁感强度为B。设两导体棒均可沿导轨无摩擦地滑行。开始时，棒cd静止，棒ab有指向棒cd的初速度v0（见图3）。若两导体棒在运动中始终不接触，求：
　　（1）在运动中产生的焦耳热最多是多少。
　　（2）当ab棒的速度变为初速度的3/4时，cd棒的加速度是多少？
　　本题两棒的受力情况和运动情况与例1的两棒截然不同，因而分析的思路和方法也不相同。两棒之间的相互作用过程，与两物体之间的完全非弹性碰撞过程相似。
　　解 ab棒向cd棒运动时，两棒和导轨构成的回路面积变小，磁通量发生变化，于是产生感应电流。 ab棒受到与运动方向相反的安培力作用作减速运动，cd棒则在安培力作用下作加速运动。在ab棒的速度大于cd棒的速度时，回路总有感应电流，ab棒继续减速，cd棒继续加速。两棒速度达到相同后，回路面积保持不变，磁通量不变化，不产生感应电流，两棒以相同的速度v作匀速运动。
　　（1）从初始至两棒达到速度相同的过程中，两棒总动量守恒，由动量守恒定律得：
　　mv0=2mv①
　　据能量守恒，在整个过程中产生的总热量为：
　　Q=12mv20-12(2m)v2=14mv20②
　　（2）设ab棒的速度变为初速度的3/4时，cd棒的速度为v"，则由动量守恒定律可知
　　mv0=m34v0+mv"③
　　此时回路中的感应电动势和感应电流分别为ε=(34v0-v")Bl④
　　I=ε2R⑤
　　此时cd棒所受的安培力FIBl⑥
　　cd棒的加速度a=Fm⑦
　　由以上各式解得：a=B2l2v04mR
　　变换3 图4中a1b1c1d1和a2b2c2d2为在同一竖直面内的金属导轨，处在磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直导轨所在的平面(纸面)向里。导轨的a1b1段与a2b2段是竖直的，距离为l1；c1d1段与c2d2段也是竖直的，距离为l2。x1y1与x2y2为两根用不可伸长的绝缘轻线相连的金属细杆，质量分别为m1和m2，它们都垂直于导轨并与导轨保持光滑接触。两杆与导轨构成的回路的总电阻为R。F为作用于金属杆x1y1上的竖直向上的恒力。已知两杆运动到图示位置时，已匀速向上运动，求此时作用于两杆的重力的功率的大小和回路电阻上的热功率。
　　解设杆向上运动的速度为v，因杆的运动，两杆与导轨构成的回路的面积减少，从而磁通量也减少。由法拉第电磁感应定律，回路中的感应电动势的大小
　　ε=b（l2-l1）v①
　　回路中的电流I=εR②
　　电流沿顺时针方向。两金属杆都要受到安培力作用，作用于杆x1y1的安培力为
　　f1=Bl1I③
　　方向向上，作用于杆x2y2的安培力
　　f2=Bl2I④
　　方向向下。当杆作为匀速运动时，根据牛顿第二定律有
　　F-m1g-m2g+f1-f2=0⑤
　　解以上各式，得I=F-(m1+m2)gB(l2-l1)⑥
　　v=F-(m1+m2)gB2(l2-l1)2R⑦
　　作用于两杆的重力的功率的大小
　　P=(m1+m2)gv⑧
　　电阻上的热功率Q=I2R⑨
　　由⑥、⑦、⑧、⑨式，可得
　　P=F-(m1+m2)gB2(l2-l1)2R(m1+m2)g⑩
　　Q=［F-(m1+m2)gB(l2-l1)］2R○11�
　　
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