换元法在解题中的应用|换元法解题
时间：2019-01-07 03:34:44 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
摘 要： 换元法作为一种重要的数学方法，在求解数学中的某些问题时可以找到解答的简捷途径，收到事半功倍的效果。 本文将从因式分解、不等式证明和求值问题这三个方面来研究换元法在数学解题中的巧妙应用。
关键词： 换元法 因式分解 不等式证明 求值问题
随着科学技术的日益数学化，各门学科对数学的要求也日益提高。换元法作为一种重要的数学解题方法，可以通过变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，将非标准型问题标准化、复杂问题简单化。使用换元法，很多问题往往会迎刃而解。
1.巧用换元法分解因式
用换元法分解因式，它的基本思路就是将多项式中的某一部分用新的变量替换，从而使复杂的问题得到简化。以下列举出几种应用换元法分解因式的形式。
1.1整体换元法
整体换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰。
例1：分解因式：（a+3a-2）（a+3a+4）-16
解：设a+3a-2=m，则
原式=m（m+6）-16=m+6m-16=（m+8）（m-2）
=（a+3a+6）（a+3a-4）=（a+3a+6）（a+4）（a-1）
1.2均值换元法
均值换元是指在某些问题中，已知两未知量的和，这时可将这两个未知量用它们的均值和一个新变量来表示，从而使计算化繁为简，我们称这种方法为均值换元法。
例2：分解因式：（a+1）（a+3）（a+5）（a+7）+15
解：原式=［（a+1）（a+7）］［（a+3）（a+5）］+15
=（a+8a+7）（a+8a+15）+15
取“均值”，设m=［（a+8a+7）+（a+8a+15）］=a+8a+11，则
原式=（m-4）（m+4）+15=m-16+15=（m+1）（m-1）
=（a+8a+12）（a+8a+10）=（a+2）（a+6）（a+8a+10）
1.3局部换元法
局部换元法是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。
例3：分解因式：（x-4x+3）（x-4x-12）+56
解：设x-4x=y，则
原式=（y+3）（y-12）+56=y-9y+20
=（y-4）（y-5）=（x-4x-4）（x-4x-5）
=（x-4x-4）（x-5）（x+1）
1.4常值换元法
常值换元就是用字母代替题目中的已知数值。对某些题目，利用这种常值换元法来求解，往往能化繁为简、巧妙获解。
例4：分解因式：x+2004x+2003x+2004
解：设2004=y，则
原式=x+yx+（y-1）x+y=（x-x）+（yx+yx+y）
=x（x-1）+y（x+x+1）=（x+x+1）（x-x+y）
=（x+x+1）（x-x+2004）
1.5倒数换元法
倒数换元指将互为倒数的用一个字母来代替它从，从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。
例5：分解因式：a+7a+14a+7a+1
解：原式=aa+7a+14++
=aa+?摇+7a+?摇+14
=a［（m-2）+7m+14］设a+=m
=a（m+7m+12）=a（m+3）（m+4）
=aa++3a++4=（a+3a+1）（a+4a+1）
2.利用换元法证明不等式
换元法是指对结构比较复杂，量与量之间关系不太直观的问题，通过恰当引入新的变量，来代换原命题中的部分式子，通过代换达到减元的目的，达到简化结构，便于研究的形式。
换元法在不等式的证明中应用广泛，常采用的方法有三角换元法、均值换元法、增量换元法及分母换元法。
2.1三角换元法
把代数形式转化为三角形式，利用三角函数的性质解决。
例6：已知a，b∈R，且a+b≤1，求证：|a+2ab-b|≤。
证明：设a=rcosθ，b=rsinθ，其中|r≤1|，θ∈［0，2π），则
|a+2ab-b|=|rcosθ+2rsinθcosθ-rsinθ|
=|rcos2θ+rsin2θ|
=r|sin2θ+|≤
∴|a+2ab-b|≤，原不等式得证。
2.2均值换元法
使用均值换元法能达到减元的目的，使证明更加简捷直观有效。
例7：已知a，b∈R，且a+b=1，求证：（a+2）+（b+2）≥。
证明：因为a，b∈R，且a+b=1，所以设a=+t，b=-t（t∈R），则
（a+2）+（b+2）=+t+2+-t+2
=+t+-t
=+2t≥
即（a+2）+（b+2）≥，原不等式得证。
2.3增量换元法
若某一变量在一常量附近变化时，可设这一变量为该常量加上另一变量。
例8：已知a＞2，b＞2，求证：a+b＜ab。
证明：设a=2+m，b=2+n，显然m＞0，n＞0
则a+b-ab=2+m+2+n-（2+m）（2+n）
=4+m+n-4-2m-2n-mn
=-m-n-mn＜0
故a+b＜ab。
2.4分母换元法
对于一些分式不等式证明题，如果各项分式的分母比较复杂，而且不容易找到解题的思路时，可以考虑把分母看作一个整体进行换元，从而将分式的分母简化，以便于寻找解题的突破口。
例9：设a、b、c∈R，且abc=1，证明：++≥。
分析：由于原式转为证++≥，
即++≥，
故令s=a+b+c，x=s-a，x=s-b，x=s-c，
则x+y+z=2s，原式转为证++≥，
化为证（x+y+z）（x+y+z）≥9，
而此式左边≥3（）×3（）=9，得证。
3.运用换元法解决求值问题
3.1利用换元法求二元函数最值问题
二元函数是指含有两个自变量的函数。求二元函数最值问题是中学数学常见的题型，其求解的技巧性强，换元法是解答这类问题的有效方法，下面通过例子说明解答这类问题的技巧。
3.1.1三角换元
例10：已知x-2xy+2y=2，求x+y的最小值。
解析：对条件进行变形得：（x-y）+y=2
令x-y=sinθy=cosθ，则x=（sinθ+cosθ）y=cosθ
∴x+y=（sinθ+cosθ）+cosθ
=sin（θ+φ）（其中tanφ=）
∵-1≤sin（θ+φ）≤1，∴-≤sin（θ+φ）≤，即x+y的最小值是-。
点评：解题中遇到a+b=c和a+b=1（a＞0，b＞0）形式时，可用三角换元法尝试解题。
3.1.2系数换元
例11：已知x，y∈R，x+y=1，求+的最大值。
解析：∵==≤=，
同理==≤，
∴+≤+=（x+y）+=2，
当且仅当x=y=时取等号，
∴+的最大值是2。
点评：根据目标函数的的结构特征，凑出常数因子，进行系数换元是解此类问题的关键。
3.1.3参数换元
例12：已知x≥0，y≥0，且y=4x，求x+y-2x+y+1的最小值。
解析：由y=4x，可设x=ty=2t（t≥0），则
x+y-2x+y+1=t+2t+2t+1
显然t+2t+2t+1在［0，+∞）上是单调递增函数，所以当t=0时，t+2t+2t+1的最小值是1，即x+y-2x+y+1的最小值是1。
本文为全文原貌 未安装PDF浏览器用户请先下载安装 原版全文 点评：本题利用参数换元将二元函数问题化为一元函数，再利用函数的单调性求解。
3.2利用换元法解一类取值范围题
例13：实数x，y满足x+xy-2y=1，求S=3x-y的取值范围。
解：由题意：（x-y）（x+2y）=1，令x-y=t，x+2y=，得
x=（2t+），y=（-t+）
代入S=3x-y，化为t的函数：
S=（2t+）-（-t+）=+（11t+）
≥+=
当且仅当11t=，t=±时取等号。因此，S∈［，+∞）。
3.3利用换元法求函数值域
值域是函数的三要素之一，它由函数的定义域及对应法则唯一确定.常用的求函数值域的方法有：配方法、反函数法、判别式法、换元法、单调性法、不等式法、数形结合法等。
所谓换元法求函数值域，就是运用三角代换或代数代换，把所给得不易求值域的函数转化为另一个易求的或比较熟悉的函数，再求出它的值域。
3.3.1三角代换
例14：求函数y=x+的值域。
分析：考虑到函数的定义域为［-1，1］，且有x+（）=1，容易联想到三角公式sinθ+cosθ=1，故可用三角代换法。
解：设x=sinθ，θ∈-，，则=cosθ
∴y=sinθ+cosθ=sin（θ+）
∵θ∈-，
∴θ+∈-，
因而
sin（θ+）∈-，1，sin（θ+）∈［-1，］
故原函数的值域为［-1，］。
3.3.2代数替换
例15：求y=x+的值域。
解：设t=≥0，则x=，∴y=+t=-（t-1）+1，易知当t=1时，y取最大值1.∴y∈（-∞，1］。
评价：对于求形如y=ax+b+函数值域问题，通常令t=≥0，则x=，使之变为求关于t的二次函数在［0，+∞）上的值域问题。
4.结语
从一种形态转化到另一种形态，这是数学发展的一个杠杆，也是解题常用的手段。数学史中这样的例子很多，无论是对一些具体问题的解决，还是在经典的数学方法中，都无不渗透着这一思想。解题中常用到的换元法，其实也是这一思想的具体体现。
学会运用换元法，不但可以沟通数学各个分支之间的联系，而且可以扩大视野，培养学习兴趣。平时在解决一些数学难题时要善于利用换元即变量替换，这样可以使复杂问题的本质特征更加显现，因此应用换元法可以解题化繁为简，避难而易，起到抛砖引玉，收到事半功倍的效果。总之，各种换元法不是彼此孤立的，而是相互联系的，在解题时同时考虑多种换元法，巧用换元法，可以使问题简明容易，拓宽自己的思维，开创自己的创新思维。
参考文献：
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［4］胡云浩.再谈两类无理函数的最值问题.数学教学，2007，（5）：20-36.
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