2008江西高考理数２００８年全国高考江西卷（理）２２题解题思路剖析

时间：2018-12-28 03:32:39　来源：雅意学习网本文已影响人

　　题目：已知函数f（x）=++，x∈（0，+∞），　　（1）当a=8时，求f（x）的单调区间；　　（2）对任意正数a，证明：1＜f（x）＜2。　　分析：第（1）小题是常规问题，一般考生都可顺利解决，不加赘述。笔者对第（2）题的证明思路的探求过程作具体剖析。
　　一、先分析不等式的左边部分，即f（x）＞1的证明思路的探求
　　数学教育家波利亚在《怎样解题》一书中指出：“你能不能从已知数据导出某些有用的东西?你能不能想出适合于确定未知数的其他数据?如果需要的话，你能不能改变未知数或数据，或者二者都改变，以使新未知数和新数据彼此更接近? ”不妨先对f（x）中的进行适当变形：==，令b=，则f（x）=++，使f（x）的表达式成为关于x、a、b的轮换对称式，便于变形和思路的探求。
　　思路分析（一）：用等价转换思想方法，对要证的不等式进行变形。
　　要证的不等式f（x）＞1++
　　=＞1
　　++＞（1+a）（1+b）+（1+x）（1+b）+（1+x）（1+a）+2（1+b）+2（1+a）+2（1+x）＞（1+x）（1+a）（1+b），
　　不等式两边展开整理，并利用原来假设b=abx=8可得，只要证不等式：x+a+b+2（1+b）+2（1+a）+2（1+x）＞6，而由x、a、b∈R，且xab=8，得：x+a+b≥3=6，所以上述不等式成立，即原不等式f（x）＞1成立。
　　思路分析（二）：利用指数函数的性质放缩。当0＜t＜1时，y=t是减函数，所以可得：++＜++，所以要证1＜f（x）只要证：
　　1≤++1≤
　　（1+x）（1+a）（1+b）≤（1+a）（1+b）+（1+x）（1+b）+（1+x）（1+a）
　　3+2（x+a+b）+ax+bx+ab≥1+（x+a+b）+（ax+bx+ab）+abx
　　3+（x+a+b）≥9x+a+b≥6，显然x+a+b≥6成立，所以原不等式成立，思路找到。
　　二、再探索右边的不等式的证明思路
　　思路（一）：观察不等式的形式，明显可以看出，应用均值定理、柯西不等式均无法解决问题。而受第（1）小题的影响，就会联想到是否可用导数去求得函数的最小值小于2的结论，若能，问题就解决了。
　　对f（x）求导，可得：f′（x）=-+，解f′（x）=0，（）=，只有当a=8特殊值时可解得x=1，否则无法解此方程，此路不通，思维受阻。
　　思路（二）：剩下只能寻找放缩法这条思路。如何放缩？“度”如何把握？波利亚在《怎样解题》中指出：“如果你不能解决所提出的问题，可先解决一个与此有关的问题。你能不能想出一个更容易着手的有关问题?一个更普遍的问题?一个更特殊的问题?一个类比的问题?你能否解决这个问题的一部分?仅仅保持条件的一部分而舍去其余部分。这样对于未知数能确定到什么程度?它会怎样变化?你能不能从已知数据导出某些有用的东西?你能不能想出适合于确定未知数的其他数据?如果需要的话，你能不能改变未知数或数据，或者二者都改变，以使新未知数和新数据彼此更接近?”按照这一思维方式和不等式证明的经验，就想到能否证明：f（x）＜2-a，其中a＞0。因为f（x）=++中的三个分式关于x、a、b成轮换对称，所以进一步考虑到：能否证明＜M？即能否证明＜M？若能，同理也可证：＜N，＜T，如果能使M+N+T=2-a，其中a＞0，那问题就解决了。
　　接下去就从更容易的一部分着手，先探索＜M的证明思路。
　　∵=1-＜1-+=1-，
　　∴得＜1-。
　　同理可得：＜1-，＜1-。三式相加得：
　　f（x）=++＜2+1-++。
　　接下去要考虑的是能否证明：
　　1-++＜0++＞2x（1+a）（1+b）+a（1+x）（1+b）+b（1+x）（1+a）＞2（1+x）（1+a）（1+b）x+a+b＜6，与前面证得的x+a+b≥6矛盾，说明所用的放缩法中的“度”太大了。怎样把放的“度”缩小一点？若三式中只放两式，这样“度”可以小一点，不妨可以再试一下，变成＜1-，＜1-，=三式相加：
　　f（x）=++＜2-+-，这样，只要能证明+-＞0，而abx=8x=，+≥，
　　∴只要证＞（1+a）（1+b）＜ab+8a+b＜7，这样实际上找到了当a+b＜7时，f（x）＜2的证明方法。
　　留下的问题是能否证明：当a+b≥7时，不等式f（x）＜2也成立？
　　由f（x）轮换对称式的对称性，不妨令x≥a≥bxab＞b0＜b≤2，又a+b≥7，∴a≥5，≤；x≥a≥5，≤；＜1，三式相加：f（x）=++＜++1＜2，∴找到了当a+b≥7时，，不等式f（x）＜2也成立的证明方法，这样问题彻底解决。
　　为了考查考生的分析问题、解决问题的能力，选拔优秀人才，设置少量的对能力要求比较高的新型试题是很有必要的，所以在教学活动中，对基础较好的学生特别要注意思维能力的培养和训练，努力提高学生分析问题、解决问题的能力。
　　
　　参考文献：
　　［1］G•波利亚.怎样解题.上海科技出版社，2002.6.
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