【微分方程在经济领域的应用】 简单微分方程在经济方面的应用
时间：2018-12-24 03:33:42 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
摘 要：本文叙述了微分方程在经济领域的一些应用，运用数学与经济学之间的密切关系，将经济问题转化为数学问题，并以实例说明了这些微分方程在经济管理中所起的重要作用。 关键词：微分方程 应用 数学理论
1.数学在经济问题研究中的作用
众所周知，数学的应用遍及所有的科技领域，也深入到人们的日常生活。如何将抽象的数学理论应用到具体的科学实践中去，以使数学这门古老、严谨、深刻的经典科学和现代数学理论找到崭新的应用市场是至关重要的。
实践证明，用数学方法对经济问题所作的定性分析和定量分析是严谨的、慎密的、可信的。例如，消费函数理论表明，某一商品的需求量(Q)取决于它的价格(P)，其他商品的价格(P)，消费者的收入(Y)，消费倾向(T)，以及一个随机因素u(随机因素包括社会保有量、政策的变化、人口的迁移等多方面因素)，此时运用数学手段则可将其抽象为公式：
Q=b +b P+b P +b Y+b T+u(b ，b ，b ，b ，b ，u为未知量)，只要对上述公式中包含的已知量作六次观测，便可确定b ，b ，b ，b ，b ，u的值。尽管其值并不一定十分准确，但还是科学的，有效的。
2. 微分方程在经济领域中的一些应用实例
例1：设有某种新产品要推向市场，t时刻的销量为x(t)，由于产品性能良好，每个产品都是一个宣传品。因此，t时刻产品销量的增长率 与x(t)成正比。同时，考虑到产品销售存在一定的市场容量N，统计表明， 与尚未购买该产品的顾客潜在的销售数量N-x(t)也成正比。于是有 =kx(N-x)?摇(3)，其中常数K＞0，为比例系数。分离变量，积分，可以解得x(t)= ?摇(4)，方程(3)称为逻辑斯谛模型(Logistic)，通解表达式(4)称为逻辑斯谛曲线。
由 = 以及 = ，当0＜x(t)＜N时，则有 ＞0，即销量x(t)单调增加。当Ce -1=0时，即x(t)= 时， =0，当x(t)＞ 时， ＜0，当x(t)＜ 时， ＞0，即当销量达到最大需求量N的一半时，产品最为畅销；当销量不足N一半时，销售速度不断增大；当销量超过一半时，销量速度逐渐减少.许多经济学家调查表明，许多产品的销售曲线与Logistic曲线十分接近。根据对曲线性状的分析，分析家认为，在新产品推出的初期应采用小批量生产并加强广告宣传，而在产品用户达到20%到80%期间，产品应大批量生产；在产品用户超过80%时，应适时转产，可以达到最大的经济效益。
例2：某地根据不同时期、不同家庭的消费资料，得到该地的一种经济作物的综合需求函数为Y=0.4P X ，其中P为作物每斤的价格，X为人均月收入，Y为人均月需求量。
由Y=0.4P X 可知该式与经济管理理论是相符的，即为一减函数。当价格上升时，需求量下降，当收入增加时，需求量上升。
由Y=0.4P X 知，若该地人月均收入50元，秋菜每笔1.30元，则可预测人均月需求量为Y=0.4×1.3 ×50 =7.61。利用此结果，可以在调节作物种植时做出合理的安排。由Y=0.4P X 可得到需求量关于价格的偏弹性为σ = × =0.4×(-0.7)P X=-0.7，同理可得：需求关于收入的偏弹性为σ =0.8。σ 表明当价格增加1%时，需求减少0.7%，σ 表明当人均收入增加1%时，需求量增加0.8%。若政府为了让菜农增加收入，决定经济作物增加39%，同时，又不使消费者受太大的损失，可决定每月补贴25元，根据公式f(x，p)=0.4p x ，由全微分公式得：dy=f′ (x，p)dx+f′ (x，p)dp，近似地有：△y≈ dx+ dp=f(x，p)（ △x- △p)，当P=1.30，X=50时，由于△x=25，△p=0.39，则△y≈7.61( ×25- )=-1.3，此计算结果表明，在这种决策下，估计每月该经济作物人需求量减少1.3斤。所以，为了保持需求量不减少，在提价39%的前提下，通过计算可知大约人均每月应补贴1.30元方能达到目的。
例3：某市工农业总产值y随时间t的变化率为：-0.002y+0.00203，假定y(0)=0，求该市工农业总产值y与时间t的函数关系。
解：由题意，有 =-0.002y+0.00203(1)，对应的齐次方程为： =-0.002y，分离变量得 dy=-0.002dt，积分得1ny=-0.002t+C ，y=ce ，用常数变易法，令y=c(t)e ，有 =c′(t)e -c(t)0.002e ，代入（1）得c′(t)=0.00203e ，积分得c(t)= e ，∴ 方程（1）通解为y= +ce =1.015+ce ，∴y(0)=0，∴c=-1.015，故所求关系式为y=1.015-1.015 e 。
参考文献：
［l］杨荣，郑文瑞，王本玉.概率论与数理统计［M］.北京：清华人学出版社，2005.
［2］同济大学应用数学系.工程数学――概率统计简明教程［M］.北京：高等教育出版社，2003.
［3］蔡芷.财会数学［M］.上海：知识出版社，1982.12.
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
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