向量坐标相乘【关注法向量应用,凸显坐标法价值】
时间：2020-03-02 07:30:10 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
自从新教材实施以来，高考的立体几何大题，在考查常规解题方法的同时，更多地关注向量方法（基向量法、坐标法）在解题中的应用。坐标法（法向量的应用），以其问题（数量关系：空间角、空间距离）处理的简单化，而成为高考热点问题。可以预测，今后的高考中，还会继续体现法向量的应用价值，下面通过一个引例的剖析来体验它的应用。
1 引例（2005湖南）
如图１，已知ABCD是上、下底边长分别为2和6，高为的等腰梯形，将它的对称轴OO1折成直二面角，如图2。
(Ⅰ)证明：AC;
(Ⅱ)求二面角的大小。
1.1 解题分析
题干给出一个直二面角和对称轴OO1，易知OO1⊥OB，OO1⊥OA，故有着明显的建系条件；另外给出梯形的边长、高，则各点坐标较易求得。用坐标法求解，可避开二面角的寻找、推理等的困扰，只需先求面O1AC与面OAC的法向量，再用公式计算便可。第(Ⅰ)问的作用在于证明O1B⊥面OAC，也就找到了一个法向量；面O1AC的法向量可与求得，只是解出后，对的取值要慎重，可先观察二面角的大小是锐角、直角，还是钝角。
1.2 利用坐标法解题
(Ⅰ)证明：由题设知OO1⊥OA，OO1⊥OB，所以∠AOB是拆成的直二面角的平面角，即OA⊥OB。故可以O为原点，OA、OB、OO1所在直线分别为 ,如图，则相关各点的坐标是：
从而 所以
(Ⅱ)解：因为
由(Ⅰ） 的一个法向量。设 的一个法向量，由
取
设二面角，由〈〉，
所以〈〉= 即二面角 。
2 比较归纳，提炼方法
比较用向量的方法处理二面角的问题时，将传统求二面角问题时的三步曲：“找（作）－证－求”直接简化成了一步曲：“计算”，从形式看，简化了步骤，似乎淡化了学生的空间想象能力，但实际不然，向量法对学生的空间想象能力要求更高，也更加注重对学生创新能力的培养，体现了新课程标准要求和教育改革的精神。
2.1 利用坐标法求角和距离
关键是有明显或较为明显的建系条件，从而建立适当的空间直角坐标系――尽可能多地使空间的点在坐标轴或坐标平面内，正确表达已知点的坐标。在立体几何数量关系的问题解决中，法向量的运用可以使问题简单化，其难点在于掌握和应用法向量解决空间角和空间距离求法的常用 技巧与方法。利用法向量求解空间角和空间距离其方法技巧总结如下：
2.1.1 利用法向量求线面角
方向向量法向量之间的夹角，则有(如图5)
特别地 II
计算公式为： ＝－
2.1.2 利用法向量求二面角
设 为，计算公式为： 。
2.1.3 利用法向量求点面距离
如图8，点为平面外一点，点A为平面内的任意一点，平面的法向量为，过点P作平面的垂线PO，记 ，PA与法向量η的夹角为φ，距离计算公式为：＝。
2.1.4 法向量求空间异面直线距离
法向量在距离方面除应用于点到平面的距离外，还能处理异面直线间的距离，线面间的距离，以及平行平面间的距离等。在方法上有其共性：其一，这三类距离都可以转化为点面间的距离；其二，异面直线的距离可用如下方法操作：在异面直线上各取上一点A、B，AB在上的射影长即为所求。为异面直线AD、BC公共垂直的方向向量，可由
其计算公式为：，其本质与求点面距离一致。
向量是新课程中引进的一个重要的解题工具而法向量又是向量工具中的一朵奇葩，解题方法新颖，思路清晰，容易想到，计算也较为简单，往往能使解题有起死回生的效果，因此，在学习中应引起足够的重视。
2.2 误区点拨，矫枉过正
在应用坐标法解题时，要特别注意防止下面两种误区：
2.2.1 正确区分二面角范围
应用向量法处理二面角问题时，可能会遇到二面角的具体大小问题，如本题中若取 但依题意可知二面角为。因为二面角的大小有时为锐角、直角，有时也为钝角，所以在计算之前不妨先依题意判断一下所求二面角的大小，然后根据计算取“相等角”或取“补角”。
2.2.2 区分所求角与应求角
向量法在处理线面角问题时，会遇到所求角与应求角的关系问题，往往在求完作结论，这是应求角的余角，应转化为正弦值
3 辐射迁移，解读高考
3.1 (2010全国理科卷)
如图10，四棱锥S-ABCD中，SD底面ABCD，AB//DC，ADDC，AB=AD=1，DC=SD=2，E为棱SB上的一点，平面EDC平面SBC.
（Ⅰ）证明：SE=2EB；
（Ⅱ）求二面角A-DE-C的大小.
解法一：常规解法略。
解法二：坐标法
以D为坐标原点，射线为轴的正半轴，建立如图11所示的直角坐标系，设A(1,0,0)，则B(1,1,0),C(0,2,0),S(0,0,2)
（Ⅰ）
设平面SBC的法向量为n=(a,b,c)
由，得
故2b-2c=0,-a+b=0
令a=1，则b=c,c=1,n=(1,1,1)
又设 ，则 ，，设平面CDE的法向量m=(x,y,z)由,得， ，故.令，则.由平面DEC⊥平面SBC得m⊥n,・n，故SE=2EB。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，取DE的中点F，则，故 ，由此得，又 ，故，由此得，向量与的夹角等于二面角 的平面角。
于是， 所以，二面角的大小为。
3.2 （2008年北京理科卷）
如图12，四棱锥中，底面为矩形，侧面底面，，，．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）设与平面所成的角为，求二面角的大小．
解法一：常规解法略。
解法二：坐标法
（I）作AO⊥BC，垂足为O，则AO⊥底面BCDE，且O为BC的中点，以O为坐标原点，射线OC为x轴正向，建立如图所示的直角坐标系O-xyz.
设A（0,0,t），由已知条件有C(1,0,0),D(1,,0),E(-1,,0), 所以，得AD⊥CE。
（II）作CF⊥AB，垂足为F，连接FE，设F（x,0,z）则=(x-1,0,z),故CF⊥BE，又AB∩BE=B，所以CF⊥平面ABE，∠CEF是CE与平面ABE所成的角，∠CEF=45°由CE=，得CF=又CB=2，所以∠FBC=60°，△ABC为等边三角形，因此A（0，0，）作CG⊥AD，垂足为G，连接GE，在Rt△ACD中，求得|AG|=|AD|，故G[] 又， ，所以的夹角等于二面角C-AD-E的平面角。由cos()=，知二面角C-AD-E为arccos()。
参考文献：
[1] 《普通高中数学新课程标准》.
[2] 2005－2010年高考试题集.
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