四边形分类教学中存在问题的成因与对策执行难的成因及对策

时间：2020-03-01 07:30:48　来源：雅意学习网本文已影响人

　　在讨论小学数学教学问题时，我们多涉及教法与学法而较少论及教材，在论及教材时，又多涉及教材的编排与解读而较少论及小学数学的知识体系。其实，认真钻研教材、创造性地使用教材也是新课程理念的一个重要方面。现在广泛使用的“人教版”小学数学教材，适当地淡化了数学概念，在第一学段的教材中很少出现数学概念的描述，但数学概念却始终伴随着小学数学教学，细细地钻研、品味小学数学教材，就会发现教材中还存在着一些人们习以为常但需要进一步推敲的问题。我们在深入小学听课的过程中，发现小学数学教师在使用教材进行分类教学时确实遇到了问题。本文中涉及的小学教材为人民教育出版社出版的小学数学教科书。
　　一、四边形分类教学时出现的问题
　　在《数学（四年级上册）》中，第四单元的教学内容为平行四边形与梯形，其中的第一部分列出了三个学习的步骤：
　　（1）画出形状和大小不同的四边形。
　　（2）标出你知道的图形的名称。
　　（3）讨论：四边形可以分成几类？
　　接着，教科书中又说：“同学们画出的四边形有以下几类”。教科书中画出了六种形状不同的四边形，并且在其中的四种图形下面标注了相应的图形名称：
　　一方面，按照教科书的原意，四边形可以分为长方形、正方形、平行四边形、梯形等6类。另一方面，教科书又给出了各种四边形之间的关系图，采用的是集合的文氏图，图中显示平行四边形集合包含了长方形集合，长方形集合又包含了正方形集合。
　　将两者联系起来考虑，笼统地将四边形分为长方形、正方形、平行四边形、梯形等6类是错误的。因为我们知道，“分类”既是一个心理学概念，也是一个逻辑学概念，还是一个分类学概念，当然也是一个重要的数学概念。对于不同的教学对象，数学概念可以采取不同的呈现形式，但前后不能相悖，这是数学教学遵循的一个基本原则。因此，小学数学中无论采取怎样的策略来进行“分类”的教学，也不能与分类的数学定义相悖。按照分类的定义，每一个四边形必须属于某一个类，且只能属于其中的某一个类，不能同时属于两个或两个以上的类。这样就产生了一个逻辑问题，因为一个正方形既属于长方形集合，又属于平行四边形集合，这显然不符合分类的要求。
　　二、问题产生的原因与对策
　　上述问题的产生，源于小学数学概念体系的不完善，许多数学对象缺乏专有的数学名词。比如，《数学（一年级上册）》的第四单元“认识物体和图形”中，呈现的“长方形”不包括“正方形”，专指“长与宽不等的长方形”，但后来又把“正方形”看作是“特殊的长方形”，使“长方形”这一概念的外延进一步扩大，这就造成了在讨论问题时，前后提到的“长方形”意义可能不同，有时指“所有的长方形”，由于没有为“长与宽不等的长方形”规定与之对应且表述简洁的专有数学名词，有时“长方形”又单指“长与宽不等的长方形”，这就造成了逻辑上的混乱。可以这样设想，把“长方形”规定为“长与宽不等的长方形”的专用数学名词，再把“长方形”与“正方形”通称为矩形，在这一前提下，“正方形”集合就不是包含于“长方形”集合内的子集，而是包含于“矩形”集合之中，这样就可以摆脱分类时的逻辑混乱。
　　同样的问题还存在于“平行四边形”的概念，最初引入的是形如“ ”的“这样的平行四边形”， “这样的平行四边形”内角都不是直角，后来又把“正方形”与“长方形”看作特殊的“平行四边形”， “平行四边形” 这一概念的外延也同样扩大了，同样在讨论问题时，前后提到的“平行四边形”意义可能不同，有时指“所有的平行四边形”，有时又单指“这样的平行四边形”，同样也造成了逻辑上的混乱。也可以这样设想， “平行四边形”单指“所有的平行四边形”，而把“这样的平行四边形”称为“斜平行四边形”，同样可以摆脱分类时的逻辑混乱，这样还能够引发小学生的进一步联想，还有“直的平行四边形”吗？再介绍长方形、正方形都是平行四边形就更为自然了。
　　在这样的设想下，教科书中“四边形的分类”略作修改就可以成立了。在形成共识之前，还有另一种规避错误的策略，就是把“同学们画出的四边形有以下几类？”这句话改为“同学们画出的四边形有以下几种类型？”。因为 “类”和“类型”是两个不同的概念，“类”是数学概念，而“类型”是生活词语。它们在意义上是有一定区别的。“分类”是数学方法，有严格的要求，而分“类型”则可以归属于生活的范畴，要求就相对低一些。
　　三、四边形的分类问题
　　四边形的分类问题因涉及数学概念较多，是一个比较复杂的问题，在四边形的分类过程中，长方形、正方形、平行四边形、梯形这些概念并不一定具有同等的地位，也就是说，它们不一定能成为具有相同层级的类。
　　首先，四边形可以按照其内角是否都小于180°分为凸四边形和凹四边形两类，即内角都小于180°的四边形为一类称作凸四边形；有一个内角大于180°的四边形为一类称作凹四边形。教科书上画出的四边形中，前面5种类型的四边形属于凸四边形这一类，第6种四边形属于凹四边形这一类。
　　在此基础之上，对于凸四边形，又可以进一步地分类，按照平行边的组数分成不规则凸四边形、梯形、平行四边形三类，没有平行边的凸四边形称为不规则凸四边形，只有1组平行边的凸四边形是梯形，有两组平行边的凸四边形是平行四边形（这里指所有平行四边形）。
　　由此可见，在凸四边形的分类中，不规则凸四边形、梯形和平行四边形可以作为地位平等的类。因为它们都不是凹四边形，所以它们也可以一起代替凸四边形，成为四边形分类中地位平等的类，但它们不能成为四边形分类中与凸四边形地位平等的类。因为它们都是凸四边形集合的子集。因此，四边形也可以分为四类：凹四边形、不规则凸四边形、梯形、平行四边形。
　　对于平行四边形，又可以按照内角中是否有直角分为有直内角的矩形和无直内角的斜平行四边形两类，
　　在平行四边形的分类中，矩形和斜平行四边形是两个地位平等的类，但它们不能和平行四边形成为四边形分类中地位平等的类，因为它们都是平行四边形集合的子集。它们可以一起代替平行四边形，成为四边形分类中地位平等的类。因此，四边形也可以分为五类：凹四边形、不规则凸四边形、梯形、斜平行四边形、矩形。
　　对于矩形，又可以按照邻边是否相等分为邻边不相等的矩形――长方形和邻边相等的矩形――正方形两类。
　　在矩形的分类中，长方形和正方形是两个地位平等的类，它们不能和矩形一起成为四边形分类中地位平等的类，但它们可以一起代替矩形，成为四边形分类中地位平等的类。因此，四边形也可以分为凹四边形、不规则凸四边形、梯形、斜平行四边形、长方形、正方形六类。
　　四边形的分类问题确实是一个较为复杂的问题，但像教科书那样，笼统地说四边形可以分为那样的6类确有不妥之处。我们应该认识到，对四边形进行分类，对于小学四年级的学生来说，是有相当难度的，教材中提出这样的问题，是值得我们去研究和思考的，也希望就这一问题与广大的一线教师进行交流，以探索更为合理的解决问题的方法。当然，作为一名小学数学教师，也应该对分类及四边形的分类问题有一个全面而深刻的认识。
　　新课程理念告诉我们，教科书只是课程的背景材料之一，广大小学数学教师，在具体的教育教学过程中，要科学地认识教材，创造性地使用教材，同时也要敢于对教材提出质疑，不断地进行研究，避免误导学生，使小学数学教学日趋合理。同时也希望有关专家在修订小学数学教材时对这些司空见惯又困扰大家的问题有所考虑，使小学数学概念体系更加完善合理。

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