【“不等式恒成立问题”求解中的几个抓手】不等式恒成立
时间：2020-02-27 07:26:41 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
恒成立问题是高中数学中的一个热点，而不等式更是高考的重点，有人说“不等式恒成立问题”是高考的兴奋点，这不无道理.但此类问题解法灵活、综合性强，部分学生常感到无从下手，茫然不知所措，那么到底如何解决这类问题呢?实际上只要紧紧“抓”住这类问题求解中的几个“抓手”，求不等式恒成立问题就会迎刃而解.本文试对这类问题作一些归纳和总结，以飧读者.
1.抓“解集”
对于恒成立问题，不等式的解集虽是一把双刃剑，它常会导致把不等式的解集与恒成立混为一谈的错误，但如能搞清它们之间的联系与区别，就能把“解集”作为“恒成立”求解的突破口.
例1 关于x的不等式x+(m+1)x+m1解得�-12-12.
4.抓“分离”
由“函数极值”思想可得，f(x)≥a恒成立�a≤f(x)�min�;f(x)≤a恒成立�a≥�f(x)�max�.由此，此类问题可化归为求函数最值或值域的 问题，利用这种方法，关键是将参数与未知数进行分离，因此叫分离参数法.
例4 在△ABC中，已知f(B)=4�sin�B�sin��2(π4+B2)+�cos�2B，且|f(B)-m|f(B)-2
m1,
m≤3，即m∈(1，3］.
例5 (2000年日本大学入学试题)已知两个函数f(x)=8x�2+16x-k,g(x)=2x�3+5x�2+4x，其中k为实数.
(1)若对任意的x∈［-3，3］，都有�f(x)≤g(x)成立，求k的取值范围；
(2)若对任意的x�1、x�2∈［-3，3］，都有�f(x�1)≤g(x�2)，求k的取值范围.
解析：(1)令F(x)=g(x)-f(x)=2x�3-3x�2-12x+k,问题转化为F(x)≥0在x∈［-3，3］上恒成立，为此只需F(x)在［-3，3］上的最小值F(x)�min�≥0即可.∵F′(x)=6x�2-6x-12=6(x�2-x-2),由F′(x)=0得x=2或x=-1.∴F(-3)=k-45,F(3)=k-9,F(-1)=k+7,F(2)=k-20,∴F(x)�min�=k-45,由k-45≥0，解得k≥45.
(2)由题意可知，当x∈［-3，3］时，都有�f(x)�max�≤g(x)�min�.由F′(x)=16x+16=0得x=-1.∵f(-3)=24-k,f(-1)=-8-k，f(3)=120-k,∴f(x)�max�=120-k,又由�g′(x)=6x�2+10x+4=0,得x=-1或x=-23,∵g(-3)=-21,g(3)=111,g(-1)=-1,g(-23)=-2827,∴g(x)�min�=-21，则120-k≤-21，解得k≥141.
5.抓“图形”
“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔裂分家万事非”，在不等式恒成立问题中，如若一时难以找出突破口，常可联想到问题中涉及的函数图像，以形助数，也许会有意想不到的收获.
例6 已知a>0且a≠1，f(x)=x�2-a�x，当x∈(-1，1)时，有f(x)1时，只有a≤2才能保证，而00的解集为A，B={x|10在区间(1，3)有解就可以，这等价于�f(x)�max�>0,在x∈(1，3)成立.
(1)当a0�a0时，f(x)�max�=f(3)=7a-6>0�a>67.于是，实数a的取值范围是�(-∞,-2)∪(67,+∞).
如果题目的条件不是A∩B≠�，而是B�A，则就化为f(x)>0在区间(1，3)恒成立的问题了.
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