【解析几何应用题如何做才能得高分】高中解析几何应用题

时间：2020-02-23 07:33:17　来源：雅意学习网本文已影响人

　　考查解析几何的实际应用，是近几年高考考查的一个重要方向，同学们应引起高度重视.此类题的特点主要体现在以下两个方面：①不是单纯地考查解析几何知识，而是赋予实际情境，通过阅读题意，我们就能够意识到问题的获解需要利用有关解析几何的知识；②将实际问题转化为单纯的数学问题后，与直线、圆、椭圆、双曲线或抛物线有着紧密的联系.
　　
　　
　　例1 地震发生后，某地由于公路遭到严重破坏，救灾物资需水运到合适地点后再转运到受灾严重的A，B两地，如图1所示.需要在河岸PQ上某点M处抢修一码头和到A，B两地的公路.经测算，A地在损毁的公路l正东方向2千米处（方位：上北下南），B地在A地北偏东60°方向的2 千米处，河流沿岸PQ上每一点到公路l和A地的距离都相等.已知修建公路的费用均为2万元/千米，修建码头的费用是10万元，那么抢修费用最低为万元.
　　解因为河流沿岸PQ上每一点到公路l和A地的距离都相等，所以河岸所在的曲线为抛物线.于是，建立如图2所示的平面直角坐标系.依题意可设点A（1，0），则直线l：x＝-1，点B（4，）.
　　作BE⊥l，MF⊥l，垂足分别为E，F，则由抛物线的定义及图2可得|MA|+|MB|＝|MF|+|MB|≥ |BE|.又|BE|= 4-（-1）＝ 5，所以（|MA|+|MB|）min = 5.
　　故抢修费用最低为2×5+10＝20（万元）.
　　例2 为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川上相距8 km的A，B两点各建一个考察基地.视冰川面为平面图形，以过A，B两点的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系（如图3）.在直线x=2的右侧，考察范围为到点B的距离不超过 km的区域；在直线x=2的左侧，考察范围为到A，B两点的距离之和不超过4 km的区域.
　　（1）求考察区域边界曲线的方程.
　　（2）如图3所示，设线段P1P2，P2P3是冰川的部分边界线（不考虑其他边界），当冰川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动0.2 km，以后每年移动的距离为前一年的2倍，求冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间.
　　解（1）设边界曲线上点P的坐标为（x，y）.当x≥2时，由题意可知（x-4）2+ y2＝ .当x|AB|=8，可知点P在以A、B为焦点，长轴长为4 的椭圆上.此时短半轴长b= ＝2，因而其方程为 + =1.
　　故考察区域边界曲线（如图4）的方程为Ｃ1：（x- 4）2+ y2 ＝（x≥2）和Ｃ2： + =1（x3，所以冰川边界线到考察区域边界线的最短距离为 3 km.
　　设冰川边界线移动到考察区域所需的时间为n年，则由题设条件及等比数列的求和公式可得 ≥3，解得n≥4.
　　故冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间为4年.
　　例3 已知A，B，C是我方三个炮兵阵地，A在B的正东方向，相距6 km，C在B的北偏西方向30°，相距4 km，P为敌炮阵地.某时刻A发现敌炮阵地的某种信号，由于B，C两地比A距P地远，因此4 s后B，C才同时发现这一信号（该信号的传播速度为1 km/s）.A若炮击P地，求炮击的方位角.
　　解如图5所示，建立平面直角坐标系xBy（长度单位：km），则B（0，0），A（6，0），∠CBy ＝30°，|BC|= 4.
　　作PD⊥BC，垂足为D.由于|PB|=|PC|，所以D是线段BC的中点.从而易知点D的坐标为（-1，）.由kPD•kBC =-1和kBC =tan 120°＝- ，得kPD ＝ .于是可知直线PD的方程为y- ＝ •（x+1），即x- y+4＝0. ①
　　由于|PB|-|PA|= 4

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