y=y0的切线方程是 直线方程x-x0=m(y-y0)的应用
时间：2020-02-23 07:31:27 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
在解析几何的学习中，学生学习了直线方程的五种形式.当遇到与过点(x�0,y�0)的直线有关的问题时，学生们往往会首选点斜式.此时，学生常常犯的错误有：① 忘记讨论斜率不存在的情况；② 代入消元后的化简较为麻烦，导致学生化简错误或者干脆直接放弃.所以我觉得将直线方程x-x�0=m(y-y�0)的应用在高三的复习中教给学生，并进行适当的训练是很有必要的.�
首先，对该方程中m的理解要到位.若直线的倾斜角为α，则m=�cos�α；若直线不与坐标轴平行，则可以认为m=1k.其次，直线方程x-x�0=m(y-y�0)可以表示过点(x�0,y�0)的直线，但前提必须是直线的倾斜角α不为零（也即不与x轴平行）.所以有时候用直线方程x-x�0=m(y-y�0)也是需要讨论的.但是，只要直线方程x-x�0=m(y-y�0)能简化我们的化简过程，我们也应考虑用这个形式来解决问题.�
以下我们通过对例题的分析来体验一下直线方程x-x�0=m(y-y�0)的应用：�
例1 （2010年海口市调研试题）在平面直角坐标系中.已知两点A(-3,0)和B(3,0),定直线l�0:x=92，平面内动点M总满足�AM�•�BM�=0.�
(1) 求动点M的轨迹C的方程；�
(2) 设过动点D(2,0)的直线l（直线l与x轴不重合）交曲线C于Q,R两点，求证：直线AQ与BQ交点总在直线l�0上.�
解析：第（1）问由条件很容易判断出动点M的轨迹是一个以AB为直径的圆，所以轨迹C的方程为x�2+y�2=9；在第（2）问中，条件明确指出直线l与x轴不重合，满足直线方程x-x�0=m(y-y�0)的前提，所以可以设直线l方程为x-2=m(y-0)，即x=my+2，然后代入求解.过程如下：�
由x=my+2�x�2+y�2=9�(m�2+1)y�2+4my-5=0，显然�Δ�＞0，�
∴设Q(x�1,y�1)，R(x�1,y�1),则有y�1+y�2=-4mm�2+1�y�1y�2=-5m�2+1……（*）�
∵直线AQ的方程可写为：y=y�1x�1+3(x+3)=y�1my�1+5(x+3)……①�
直线BQ的方程可写为：y=y�2x�2-3(x-3)=y�2my�2-1(x-3)……②�
∴联立①②，可解得：x=6my�1y�2-3y�1+15y�25y�2+y�1�
由（*）可知：y�1+y�2=4m5y�1y�2�
∴15(y�1+y�2)=12my�1y�2，9y�1+45y�2=12my�1y�2-6y�1+30y�2�
∴9(y�1+5y�2)=2(6my�1y�2-3y�1+15y�2)，∴x=92�
∴直线AQ与BQ交点总在直线l�0上.�
评注：在做第（2）题时若选用点斜式，就必须讨论斜率不存在的情况.但是，学生在用点斜式时又常常忽视对斜率存不存在的讨论，犯以偏概全的错误，导致解题的不完整.�
例2 （2011年西工大附中第四次适应性训练题）已知椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，椭圆上的点到焦点的距离的最小值为2-1，离心率e=22．�
（1） 求椭圆E的方程；�
（2） 过点（1,0）作直线l交E于P,Q两点，试问在x轴上是否存在一定点M，使�MP�•�MQ�为定值？若存在，求出定点M的坐标；若不存在，请说明理由．�
解：(1) a-c=2-1�e=ca=22�a=2�c=1�b=1，�
∴所求椭圆E的方程为：x�22+y�2=1�
(2) 当直线l不与x轴重合时，可设直线l的方程为：x=ky+1�
x�2+2y�2=2 (1)�x=ky+1 (2)，把（2）代人（1）整理得：�
(k�2+2)y�2+2ky-1=0�
∴y�1+y�2=-2kk�2+2�y�1•y�2=1k�2+2，�
假设存在定点M(m,0)，使得�MP�•�MQ�为定值�
�MP�•�MQ�=(x�1-m,y�1)•(x�2-m,y�2)=(x�1-m)(x�2-m)+y�1y�2�
=(ky�1+1-m)(ky�2+1-m)+y�1y�2�
=(k�2+1)y�1y�2+k(1-m)(y�1+y�2)+(1-m)�2�
=-(k�2+1)k�2+2-2k�2(1-m)k�2+2+(1-m)�2�
=(2m-3)k�2-1k�2+2+(1-m)�2=(2m-3)(k�2+2)+(5-4m)k�2+2+(1-m)�2�
当且仅当5-4m=0，即m=54时，�MP�•�MQ�=-716（为定值）．�
这时M54,0�
再验证当直线l的倾斜角α=0时的情形，此时取P(-2,0)，Q(2,0)�
�MP�=-2-54,0，�MQ�=2-54,0�
�MP�•�MQ�=-2-54•2-54=-716�
∴存在定点M54,0使得对于经过（1,0）点的任意一条直线l�
均有�MP�•�MQ�=-716（恒为定值）．�
评注：在第（2）问中，如果用点斜式，讨论是不可避免的.但是将斜率存在时的直线l方程设为y=k(x-1)，代入x�22+y�2=1中后消元得到的一元二次方程为：(1+2k�2)x�2-4k�2x+2k�2-2=0.显然，该方程的系数要比(k�2+2)y�2+2ky-1=0中的系数麻烦的多，这就给后面用韦达定理的化简带来了麻烦！所以，虽然都要讨论，但从化简的角度来讲用直线方程x-x�0=m(y-y�0)要合理的多.
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