小李在解方程5a-x=13 讨论方程x|x-a|=a解的个数
时间：2020-02-23 07:28:41 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
问题 已知a∈R，讨论关于x的方程x|x-a|=a解的个数. 解 ① 当a=0时，原方程即x|x|=0，有唯一解，且解为x=0. ② 当a＞0时，x＞0,原方程即|x-a|=，其解的个数即关于x，y的方程组y=|x-a|，y=解的组数.
结合它们的函数图像，知该方程组在x≥a时有唯一解（同学们也可给予严格的代数证明：方程有两个实数解，且一个小于a，另一个大于a），所以还须讨论该方程组在x∈（0，a）上解的组数，即方程a-x=（0＜x＜a）解的个数，也即方程a-x=（x＞0）解的个数，即方程a-x=（x∈R）解的个数，也即一元二次方程x2-ax+a=0（x∈R）解的个数.
其判别式Δ=a（a-4）.由Δ＞（=,＜）0,知a＞（=,＜）4且a＞0，所以当0＜a＜4时，原方程解的个数是1，且此解在（a，+∞）上（如图1）；当a=4时，原方程解的个数是2，且一个解是重根并在（0，a）上，另一个解在（a，+∞）上（如图2）；当a＞4时，原方程解的个数是3，且两个解在（0，a）上，另一个解在（a，+∞）上（如图3）.
③ 当a＜0时，x＜0，设a=-a′（a′＞0），得原方程即
x|x+a′|=-a′;又设x=-x′（x′＞0），得原方程即x′|x′-a′|=
a′（x′＞0），也即x′|x′-a′|=a′（x′∈R）.
由②的结论,可得当-4＜a＜0时，原方程解的个数是1，且此解在（-∞，-a）上；当a=-4时，原方程解的个数是2，且一个解是重根并在（-a，0）上，另一个解在（-∞，-a）上；当a＜-4时，原方程解的个数是3，且两个解在（-a，0）上，另一个解在（-∞，-a）上.
综上所述,当|a|＜4时，原方程解的个数是1；当
|a|=4时，原方程解的个数是2；当|a|＞4时，原方程解的个数是3.
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