再谈一类盈亏问题的解法:盈亏问题应用题大全
时间：2019-04-16 03:23:43 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
《小学教学参考》（数学版）2006年第4期刊登了文昌才、李继红两位老师所写的《一类盈亏问题的解法》一文（以下简称文献[1]），之后，同年的第12期刊登了何升根老师所写的《也谈“一类盈亏问题的解法”》一文（以下简称文献[2]）。文献[1]主要讲述了用比较法来解决典型的和复杂的盈亏类问题，但其例3用了小数，不够直观。文献[2]则主要讲述了用矩形面积法来解决盈亏类问题，这也是一种很好的方法，但文献[2]将盈亏数画在每份数的右边，显得不够简洁。本文将盈亏数画在每份数的上面，简明直观，一目了然，并强调比较或画图的基准。
例1：把一些苹果平均分成几堆，两次分法的堆数相同。如果每堆分5个苹果，则还余4个苹果；如果每堆分7个苹果，则还缺28个苹果，这些苹果有多少个？
解析：文献[1]原题没有明确“两次分法的堆数相同”，故文献[2]作者严谨地指出原题答案的非唯一性。现对文献[2]中矩形面积法的画图方法改进，如图1所示。
题目条件的图形如下表示（以下各解法类同，不再赘述）：总数（苹果数）=面积ABFE（实线），份数（堆数）=AB。第一次分配：每份数1=AC=5，盈数=面积CDFE（斜线阴影）=4；第二次分配：每份数2=BH=7，亏数=面积EFHG（反斜线阴影）=28。
显然，盈数+亏数=面积CDHG（阴影）=4+28=32，每份数差=CG=7-5=2，份数=AB=CD=面积CDHG÷CG=32÷2=16，苹果数=16×5+4=84，或苹果数=16×7-28=84。
例1是典型的盈亏问题，为一盈一亏，另外还包括两盈、两亏、一盈一平和一亏一平共五种情况，均可用矩形面积法来类似地解决，这里不再举例。
例2：把一些苹果和梨平均分成几堆，如果5个苹果和3个梨分成一堆，梨分完后苹果还剩4个；如果7个苹果和3个梨分成一堆，苹果分完后梨还剩下12个，问有多少个苹果，多少个梨？
解析：例2是较为复杂的盈亏类问题，需要将两次分配的比较基准——份数统一，进而转化为典型的盈亏问题。
根据题意，例2两次分配中每堆均是3个梨，故堆数（份数）以分配完梨为基准，这样第一次分配完梨后盈4个苹果，第二次分配完苹果剩下12个梨，可以组成12÷3=4（堆），还亏4×7=28（个）苹果与之配对。矩形面积法的解法如图2所示。
与例1类似可得，份数=AB=(4+28)÷(7-5)=16，苹果数=面积ABFE=16×5+4=84，或苹果数=16×7-28=84，梨数=面积KLBA=16×3=48。
例3：把一些苹果和梨平均分成几堆，如果3个苹果和6个梨分成一堆，梨分完后苹果还剩5个；如果5个苹果和4个梨分成一堆，苹果分完后梨还剩下140个，问有多少个苹果，多少个梨？
解析：例3也是较为复杂的盈亏类问题，文献[1]将两种分配方法的基准转化为每堆1个梨，但与之配对的苹果出现小数，不利学生理解。实际上，仍然可以梨为基准（当然也可以苹果为基准），每堆梨的个数为两次分配中梨的个数的公倍数，这样与之配对的苹果数就是整数。矩形面积法的解法如图3所示。
第1次分配：苹果︰梨=3︰6=1︰2=2︰4，苹果盈数=5；第2次分配：苹果︰梨=5︰4，类似于例2，苹果亏数=（140÷4）×5=35×5=175。
与例2类似可得，份数=AB=（5+175）÷（5-2）=60，苹果数=60×2+5=125，或苹果数=60×5-175=125，梨数=60×4=240。
（责编 杜 华）
