排列组合涂色问题技巧 [解排列组合问题的常用技巧]
时间：2019-02-09 03:16:01 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
一、特殊元素和特殊位置――优先策略 例1：由0，1，2，3，4，5可以组成多少个没有重复数字五位奇数？ 解：由于末位和首位有特殊要求，应该优先安排，以免不合要求的元素占了这两个位置。
先排末位，共有C；然后排首位，共有C最后排其它位置，共有A。由分步计数原理得CCA=288.
二、相邻问题――捆绑策略
例2：7人站成一排，其中甲乙相邻，且丙丁相邻，共有多少种不同的排法？
解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。
由分步计数原理可得共有AAA=480种不同的排法。
三、不相邻问题――插空策略
例3：一个晚会的节目有4个舞蹈，2个相声，3个独唱，舞蹈节目不能连续出场，则节目的出场顺序有多少种？
解：分两步进行：第一步，排2个相声和3个独唱共有A种，第二步，将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间，包含首尾两个空位，共有A种不同的方法。
由分步计数原理，节目的不同顺序共有AA=43200种。
四、定序问题――倍缩空位插入策略
例4：7人排队，其中甲乙丙3人顺序一定，共有多少不同的排法？
法1：倍缩法：对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素与其他元素一起进行排列，然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数，则共有不同排法种数是：=840
法2：空位法：设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有A种方法，其余的三个位置甲乙丙共有1种坐法，则共有A=480种方法。
法3：插入法：先排甲乙丙三个人，共有1种排法，再把其余四人依次插入，共有4×5×6×7=840方法。
五、重排问题――求幂策略
例5：把6名实习生分配到7个不同车间实习，共有多少种不同的分法？
解：完成此事共分六步：把第一名实习生分配到车间有7种分法.把第二名实习生分配到车间也有7种分法，依此类推，由分步计数原理共有7=117649种不同的排法。
六、元素相同问题――隔板策略
例6：有10个运动员名额，要分给7个班，每班至少一个，有多少种分配方案？
解：因为10个名额没有差别，把它们排成一排，相邻名额之间形成9个空隙。
在9个空档中选6个位置插个隔板，可把名额分成7份，对应地分给7个班级，每一种插板方法对应一种分法共有C=84种分法。
七、住店法策略
解决“允许重复排列问题”要注意区分两类元素：一类元素可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，再利用乘法原理直接求解。
例7：七名学生争夺五项冠军，每项冠军只能由一人获得，获得冠军的可能的种数有?摇 ?摇?摇。
分析：因同一学生可以同时夺得n项冠军，故学生可重复排列，将七名学生看作7家“店”，五项冠军看作5名“客”，每个“客”有7种住宿法，由乘法原理得7=16807种。
八、平均分组问题――除法策略
例8：6本不同的书平均分成3堆，每堆2本共有多少分法？
解：分三步取书C得CC种方法，但这里出现重复计数的现象，不妨记6本书为ABCDEF，若第一步取AB，第二步取CD，第三步取EF该分法记为（AB，CD，EF），则CCC种方法中还有（AB，EF，CD），（CD，AB，EF），（CD，EF，AB），（EF，CD，AB），（EF，AB，CD）共A种取法，而这些分法仅是（AB，CD，EF）一种分法，故共有=15种分法。
九、多面手问题――合理分类与分步策略
例9：在一次演唱会上共10名演员，其中8人能能唱歌，5人会跳舞，现要演出一个2人唱歌2人伴舞的节目，有多少选派方法？
解：10演员中有5人只会唱歌，2人只会跳舞，3人为全能演员.以只会唱歌的5人是否选上唱歌人员为标准进行研究。
只会唱的5人中没有人选上唱歌人员共有CC种，只会唱的5人中只有1人选上唱歌人员有CCC种，只会唱的5人中只有2人选上唱歌人员有CC种，由分类计数原理，共有CC+CCC+CC=199种。
十、环排问题――线排策略
例10：5人围桌而坐，共有多少种坐法？
解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人A，并从此位置把圆形展成直线，其余4人共有A种排法即：（5-1）！=24
十一、多排问题――直排策略
例11：8人排成前后两排，每排4人，其中甲乙在前排，丁在后排，共有多少排法？
解：8人排前后两排，相当于8人坐8把椅子，可以把椅子排成一排.先在前4个位置排甲乙两个特殊元素，有A种，再排后4个位置上的特殊元素，有A种，其余的5人在5个位置任意排列，有A种，则共有AAA=5760种。
参考文献：
［1］中学生数学.
［2］中学数理化.
［3］数学通讯.
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