[柯西不等式的证明及在极值问题上的应用]柯西不等式高中公式
时间：2019-02-03 03:32:03 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
摘 要： 本文通过对柯西不等式的研究，得出了几种新的证明方法：配方法、向量法、行列式性质、数学归纳法、运用二元二次型的正定性，最后讨论了柯西不等式在极值问题上的应用.
关键词： 柯西不等式 证明方法 极值问题
柯西不等式是数学中一个非常重要的不等式，价值不可估量.它以对称和谐的结构，应用的广泛性，引起了人们的兴趣和探讨。它对推导其他数学结论和数学解题及在实际运用中都有非常重要的作用.
本文主要研究柯西不等式的几种证明方法及利用柯西不等式来解决一些数学问题，最后还给出柯西不等式的一些推广.柯西不等式在理论中占有很重要的地位，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解，起到事半功倍的作用，也有利于培养人的逻辑思维能力和推理论证能力.同时，柯西不等式也是高考考查的重点内容.柯西不等式不仅在高等数学中是一个十分重要的不等式，而且对初等数学也有很重要的指导作用，利用它能高瞻远瞩、居高临下，能够方便地解决一些中学数学中的有关问题.构造柯西不等式解题能够打破常规，有利于培养学生的创新思维，充分发挥柯西不等式的教育功能.
一、柯西不等式的证明
柯西不等式是一个重要的不等式，其应用极为广泛.无论是高等数学还是初等数学，都有不少问题可以用它来解决.柯西不等式的多种方法证明及灵活应用，对培养数学思维能力也颇有益处.下面给出柯西不等式的五种证明方法.
1.配方法
证明：（a+a+…+a）（b+b+…+b）-（ab+ab+…+ab）
=（a）（b）-（ab）=ab-abab
=（ab+ab-2abab）
=（ab-2abab+ab）=（ab-ab）≥0
即（ab+ab+…+ab）≤（a+a+…+a）（b+b+…+b）
当且仅当（ab=ab）=0，即a=kb（k为常数，i=1，2，…，n）时，等号成立.
2.向量法
证明：设n维向量=（a+a+…+a），=（b+b+…+b），则有|•|≤||•||，即（•）≤||||，所以（ab+ab+…+ab）≤（a+a+…+a）（b+b+…+b），当且仅当（ab=ab）=0，即a=kb（k为常数，i=1，2，…，n）时，等号成立.
3.数学归纳法
证明：当n=1时，显然成立.
当n=2时，（ab+ab）=ab+2abab+ab≤ab+ab+ab+ab=a（b+b）+a（b+b）=（a+a）（b+b）
当且仅当ab=ab时，等号成立.
假设当n=k时成立，即（ab+ab+…+ab）≤（a+a+…+a）（b+b+…+b），当且仅当ab=ab（k为常数，i=1，2，…，n）时，等号成立.
当n=k+1时，
2ab
=（a+a+…+a+a）（b+b+…+b+b）
=（a+a+…+a）（b+b+…+b）+b（a+a+…+a）+a（b+b+…+b）+ab
≥（a+a+…+a）（b+b+…+b）+2ab+ab
≥（ab+ab+…+ab）+2ab（ab+ab+…+ab）+ab
=（ab+ab+…+ab）
即（ab+ab+…+ab）≤（a+a+…+a+a）（b+b+…+b+b），当且仅当ab=ab（k为常数，i=1，2，…，n）时，等号成立.
综上所述，（ab+ab+…+ab）≤（a+a+…+a）（b+b+…+b），当且仅当（ab=ab）=0，即a=kb（k为常数，i=1，2，…，n）时，等号成立.
4.运用二元二次型的正定性
证明：显然0≤（ax+by）=（a）x+2（ab）xy+（b）y为x，y的正定二次型，所以其判别式不大于0.即4（ab）-4ab≤0
（ab）≤ab（1）
且（ax+by）=0，当且仅当ax+by=0，即=-，i=1，2，…，n.所以当且仅当==…=时，（1）式等号成立.即（ab+ab+…+ab）≤（a+a+…+a）（b+b+…+b）,当且仅当a=kb（k为常数，i=1，2，…，n）时，等号成立.
5.运用行列式
证明：设
A=（a+a+…+a）（b+b+…+b）-（ab+ab+…+ab）
= a+a+…+a ab+ab+…+abab+ab+…+ab b+b+…+b
= aababb=abaabb
因为A=abaabb=ab（-1）aabb
所以2A=（ab-ab）aabb=（ab-ab）≥0，因此A≥0，
即（ab+ab+…+ab）≤（a+a+…+a）（b+b+…+b），当且仅当a=kb（k为常数，i=1，2，…，n）时，等号成立.
二、柯西不等式的应用
柯西不等式也可以写成如下形式：
（ab）≤abb，当且仅当==…=时，等号成立.
灵活运用柯西不等式，可以使一些数学问题的解题过程得到简化.下面给出柯西不等式的一些应用，利用柯西不等式来解决函数极值问题.
例：设2x+5y+6z=60，求μ=++的最大值.
解：因为3（2x+3+5y+2+6z+7）=3（2x+5y+6z+3+2+7）=216，所以由柯西不等式得（1+1+1）［（2x+3）+（5y+2）+（6z+7）］≥（1•+1•+1•）
所以（++）≤=6，当且仅当2x+3=5y+2=6z+7，即x=，y=，z=时，等号成立.所以μ的最大值为6.
参考文献：
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