【弹簧类问题求解策略】 创造性问题求解的策略
时间：2019-02-02 03:19:49 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
在中学阶段，凡涉及的弹簧都不考虑其质量，称之为“轻弹簧”，是一种常见的理想化物理模型。弹簧总是与其它物体直接或间接联系在一起，因弹簧与其“关联物”之间总存在着力、运动状态、动量或机械能方面的联系，因此弹簧类问题多为综合性问题，涉及的知识面广，要求的能力较高，是高考的难点之一。下面分三个方面进行剖析。�
1 弹簧与平衡问题�
求解策略：此类问题主要涉及弹簧的形变量和弹力大小，分析时一般应从弹簧的形变分析入手，先确定弹簧原长位置，现长位置，找出形变量x与物体空间位置变化的几何关系，分析形变所对应的弹力大小、方向，画出图形，然后利用胡克定律结合平衡条件求解。�
例1 如图1所示，劲度系数为k1的轻质弹簧两端分别与质量为m1、m2的物块1、2拴接，劲度系数为k2的轻质弹簧上端与物块2拴接，下端压在桌面上（不拴接），整个系统处于平衡状态。现施力将物块1缓慢地竖直上提，直到下面那个弹簧的下端刚脱离桌面。在此过程中，物块2的重力势能增加了______，物块1的重力势能增加了________。�
解析 本题中有两个关键性词语应予重视：“轻质”弹簧――即不计弹簧质量；“缓慢地”竖直上提――即系统动能无变化，且上提过程中系统受合力始终为零。�
根据题意画图如图2所示。上提前弹簧k1被压缩Δx1，弹簧k2被压缩Δx2，于是有：Δx1=m1gk1;Δx2=(m1+m2)gk2�
上提后，弹簧k2刚脱离桌面，已恢复原长，不产生弹力，则此时m2仅受到上面弹簧的拉力和重力，于是上面的弹簧k1是拉伸的，其形变量为：Δx′1=m2gk1
由上面的计算可得：物块2的重力势能增加了ΔE�p2�为： ΔE�p2�=m2gΔx2=m2(m1+m2)g2k2�
物块1的重力势能增加了 ΔE�p1�=m1g(Δx1+Δx2+Δx′1)=m1(m1+m2)(1k1+1k2)g2�
2 弹簧与运动问题�
此类问题主要分为三种：第一种是关于将要运动的瞬间弹簧弹力是否突变的问题；第二种是关于在弹簧弹力和其它力共同作用下的匀速或变速运动问题；第三种是在弹簧作用下的简谐运动。其求解策略分别如下：�
求解策略1、不可伸缩的细绳，刚性轻杆与轻弹簧的物理模型有重要区别，一般是：细绳、刚性轻杆长度认为不变，形变可忽略，绳或杆的弹力可以突变；弹簧的弹力是否突变是有条件的，一般来说，只有当轻质弹簧的两端同时受到其它物体（或力）约束时，其弹力才不会发生突变，与变化前的弹力相同，如果轻质弹簧只有一端受到约束，它的弹力是会发生突变的。�
例2 如图3所示，两球质量相等，甲图中两球用轻质弹簧连接后再用细绳吊在顶板上，乙图两球用细绳连接后再用轻质弹簧吊在顶板上。现分别将甲、乙两图中O点的绳子和弹簧剪断，问剪断的瞬间：甲图中A的加速度为：_______，B球的加速度为:______;乙图中A的加速度为:______，B球的加速度为:_______。�
分析与解 甲图中剪断绳子，绳子上的力瞬间消失，AB间弹簧的弹力在此瞬间没有发生变化，所以A受到重力和弹簧向下的拉力，B受到弹簧向上的拉力和重力，而弹簧的拉力不变为mg，所以A的加速度为2g，B为0。乙图中剪断弹簧，对剪断的弹簧受力分析，下端仍受到A对它向下的拉力，由于弹簧的质量为零，它的加速度为无穷大，这说明弹簧恢复形变的时间为零，弹簧的弹力发生了突变，AB两球之间的绳子上的弹力也突变为零，于是AB两球加速度都为g。�
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求解策略2、弹簧连续形变其弹力为变力，只在弹簧作用下的运动一般是变速运动，如果与其作用的"关联物"做匀变速运动，则必有变化的外力作用，要注意变化的外力存在极值问题。涉及到弹簧做功问题，因弹力为变力一般用动能定理或功能关系来求解。�
例3 A、B两木块叠放在竖直轻弹簧上，如图4所示，已知木块A、B质量分别为0.42kg和0.40kg，弹簧的劲度系数k=100N/m，若在木块A上作用一个竖直向上的力F，使A由静止开始以0.5m/s2的加速度竖直向上做匀加速运动（g=10m/s2）。求：�
（1）使木块A竖直做匀加速运动的过程中，力F的最大值；�
（2）若木块由静止开始做匀加速运动直到A、B分离的过程中，弹簧的弹性势能减少了0.248J，求这一过程F对木块做的功。�
解 当F=0（即不加竖直向上的力F时），设A、B叠放在弹簧上处于平衡时弹簧的压缩量为x，有�
kx=（mA+mB）g①�
�
对A施加F力，分析A、B受力如图5所示，对A ：F+N-mAg=mAa②�
对B：kx′-N-mBg=mBa′③�
因为当N≠0时，AB有共同加速度a=a′，由②式知欲使A匀加速运动，随N减小F增大。当N=0时，F取得了最大值Fm,�
即Fm=mA（g+a）=4.41N�
又当N=0时，A、B开始分离，仍有a=a′由③式知，�
kx′=mB（a+g）�
此时，弹簧压缩量x′=mB（a+g）/k④�
AB共同速度 v2=2a（x-x′）⑤�
由题知，此过程弹性势能减少了�
WP=EP=0.248J�
设F的功为WF，对这一过程应用动能定理或功能原理�
WF+EP-（mA+mB）g(x-x′)=12(mA+mB)v2⑥�
联立①④⑤⑥，且注意到EP=0.248J�
可知，WF=9.64×10�-2�J�
求解策略3、要善于利用简谐运动的特征分析有关“弹簧类”问题。比如，会用简谐运动的对称性分析问题；知道弹簧原长时“关联物”所处的位置不一定是平衡位置――如竖直平面内的弹簧振子，水平摩擦不能忽略的弹簧振子等。�
例4 如图6所示，轻弹簧上端悬挂在天花板上，下端连接一个质量为M的木板，木板下面再挂一个质量为m的物体，当拿去m后，木板速度再次为零时，弹簧恰好恢复原长，求M与m之间的关系？�
解析 考虑到拿去m后，M将做简谐运动。则拿去m时M所处位置与弹簧刚恢复原长时M所处位置分别为平衡位置两侧的最大位置处，由M做简谐运动时力的对称性可知，在两侧最大位移处回复力的大小应相等，在最低位置处F=mg，方向向上，在最高位置处F=mg，方向向下，所以有M=m。�
3 弹簧与守恒问题�
此类问题主要涉及弹簧做功与能量转化，以及动量守恒问题的分析，是弹簧问题中最复杂的。�
求解策略1、弹簧的弹力对“关联物”做功，必然引起弹性势能与机械能的相互转化，求解中必须进行透彻的受力分析、运动分析、能量关系和动量关系的讨论。尤其要弄清楚在这一过程中，弹簧所储存的弹性势能的变化。�
例5 A、B两个矩形木块用轻弹簧相连接，弹簧的劲度系数为k，木块A的质量为m，木块B的质量为2m，将它们竖直平放在水平地面上，如图7所示。如果将另一块质量为m的物块C从距木块A高H处自由落下，C与A相碰后，立即与A粘合在一起再将弹簧压缩，此后，A、C不再分开向上弹起，最终能使木块B刚好离开地面，如果木块C的质量减为m2，要使木块B不离开水平地面，那么木块C自由落下的高度h距A不能超过多少？ �
解 C作用之前弹簧是压缩的，压缩量为Δx1=mgk�
B刚要离开地面时弹簧是拉伸的，伸长量为Δx2=2mgk�
所以B刚要离开地面时，A上升的高度为Δx=Δx1+Δx2=3mgk①�
本文为全文原貌 未安装PDF浏览器用户请先下载安装 原版全文 设C与A碰撞前速度为v0，碰撞后为v1，则有mgH=12mv20②�
C与A碰撞瞬间动量守恒有：�
mv0=(m+m)v1③�
由②③解得：v1=2gH2④�
当A上升到最高点时，由机械能守恒，与初始状态相比，弹簧弹性势能的增量为�
ΔE=12(m+m)v21-(m+m)g×Δx⑤�
由①④⑤解得：ΔE=mgH2-6m2g2k⑥�
C换成m2后， 有�
mgh=12mv′20⑦�
12mv′0=(12m+m)v′1⑧�
由⑦⑧解得：v′1=132gh⑨�
当B刚离地时弹簧势能的增量与前一次相同，由能量关系得�
ΔE=12(12m+m)v′21-(12m+m)g×Δx⑩�
由⑥⑨⑩解得：h=3H-9mgk �
所以h不能超过3H-9mgk。�
求解策略2、在弹簧、“关联物”动能与势能的能量交换中，有从压缩状态恢复原长的，有从伸长状态恢复原长的，表现为三种典型状态：即弹簧伸长最长、压缩最短及恢复原长瞬间。对于在弹簧恢复原长的瞬间，除质量相等的两物体速度一个最大，另一个最小为零外，一般速度不会同时达到最大或最小。原先在弹簧作用下加速的物体在弹簧恢复原长的瞬间速度一定最大，而对于受弹簧作用减速的物体则要据动量守恒和机械能守恒列方程求解。若解得它的速度为正值，则为最小；若为负值，表明已反向加速，则整个过程中此物体的最小速度应为零。例6 如图8所示，轻弹簧的两端与物块（质量分别为m1、m2 ）连在一起，m1=1kg，m2=2kg将m1、m2放在光滑的水平面上，弹簧自然伸长时，m1静止在A点，m2靠墙。现用水平力F推m1使弹簧压缩一段距离后静止，此过程中力F做功4.5J。当F撤去后，求：�
（1）m1在运动过程中的最大速度；�
（2）m2在运动过程中的最大速度；�
（3）m1在越过A点后速度最小时弹簧的弹性势能。�
解 （1）F撤去后，弹簧恢复原长时m1速度最大，设为v0，则有�
WF=EP=12m1v20�
∴v0=2EPm1 =3m/s�
(2)m1、m2一起向右运动，当弹簧伸长最长时，m1和m2速度相同，但m2速度并非为最大值，当弹簧恢复原长时，m2加速至速度最大。设m1、m2速度分别为v1和v2，则有�
m1v0=m1v1+m2v2�
12m1v20=12m1v21+12m2v22�
代入数据解得v1=3m/s，v2=0(舍去)或v1=-1m/s，v2=2m/s。故m2在运动过程中最大速度为2m/s，而此时m1速度v1=-1m/s，表明m1已反向加速。�
（3）由（2）可知，m1过A点后最小速度为零，此时由m1v0=m1v′1+m2v′2得v′2=1.5m/s，此时弹簧具有的弹性势能为�
ΔEP=12m1v20-12m2v′22=2.25J
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