排列组合解题策略梳理 排列组合a和c计算方法
时间：2019-01-10 03:31:38 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
排列组合问题是解决概率问题的基础，多以选择填空形式出现，小巧灵活，有很强的抽象性和综合性；同时又对分类讨论、数形结合、转化化归等数学思想有着较高要求，学生不易掌握，为历年高考必考内容.因此我们有必要将相关思维方法和解题策略梳理一下.
1．用好两个原理：分类问题用加法，完成一件事的几类方法之间是独立的，计数时不重不漏；分步问题用乘法，完成一件事的几步之间是连续的，计数时缺一不可。
例1.（2010年天津理10）如图，用四种不同颜色给图中的A、B、C、D、E、F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色.则不同的涂色方法共有（ ）
A.288种 B.264种 C.240种 D.168种
【答案】B
【解析】分三类：（1）B、D、E、F用四种颜色，则有A=24种方法；（2）B、D、E、F用三种颜色，则有A×2×2+A×2×1×2=192种方法；（3）B、D、E、F用二种颜色，则有A×2×2=48种方法，所以共有不同的涂色方法24+192+48=264种.
例2.（2009北京卷文）用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为（）
A．8 B．24 C．48 D．120
【答案】C
【解析】2和4排在末位时，共有2种排法，其余三位数从余下的四个数中任取三个有A种排法，于是由分步计数原理，符合题意的偶数共有2A个.故选C.
2.相邻问题捆绑法。相邻的几个元素捆绑成一起，视作一个元素参与排列。
例3.（2009四川卷文）2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（）
A.60 B.48 C.42 D.36
【答案】B
【解析】解法一：从3名女生中任取2人“捆”在一起记作A，（A共有CA=6种不同排法），剩下一名女生记作B，两名男生分别记作甲、乙；则男生甲必须在A、B之间（若甲在A、B两端.则为使A、B不相邻，只有把男生乙排在A、B之间，此时就不能满足男生甲不在两端的要求）.此时共有6×2＝12种排法（A左B右和A右B左），最后再在排好的三个元素中选出四个位置插入乙.所以，共有12×4＝48种不同排法.
解法二：同解法一，从3名女生中任取2人“捆”在一起记作A（A共有CA种不同排法），剩下一名女生记作B，两名男生分别记作甲、乙；为使男生甲不在两端可分三类情况：
第一类：女生A、B在两端，男生甲、乙在中间，共有6AA=24种排法；
第二类：“捆绑”A和男生乙在两端，则中间女生B和男生甲只有一种排法，此时共有6A=12种排法；
第三类：女生B和男生乙在两端，同样中间“捆绑”A和男生甲也只有一种排法.此时共有6A=12种排法.
三类之和为24＋12＋12＝48种.
3．不相邻问题插空排。元素不相邻问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的不相邻的几个元素插入上述几个元素的空位和两端。
例4.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（ ）
A.1440种 B.3600种 C.4820种 D.4800种
解析：除甲乙外，其余5个排列数为A种，再用甲乙去插6个空位有A种，不同的排法种数是AA=3600种，选B.
4.定序问题除法法则。在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用先进行全排再除以保持一定顺序元素的全排方法。
例5.A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边（A，B可以不相邻）那么不同的排法种数是（）
A.24种 B.60种 C.90种 D.120种
解析：题中元素的全排数是，即A=120种，有限定顺序的元素的全排为A，故满足条件的不同排法为，选B.
5.分配问题分组法。分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配。
例6.4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？
解析：把四名学生分成3组C有种方法，再把三组学生分配到三所学校有A种，故共有CA=36种方法.
6．名额分配问题隔板法。
例7.10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？
解析：10个名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆，每堆至少一个，可以在10个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种分配方案，故共有不同的分配方案有C=84种.
7．限制条件的分配问题分类法。
例8：某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？
解析：因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况：
①若甲乙都不参加，则有派遣方案A种；
②若甲参加而乙不参加，先安排甲有3种方法，然后安排其余学生有A方法，所以共有3A；
③若乙参加而甲不参加同理也有3A种；
④若甲乙都参加，则先安排甲乙，有7种方法，然后再安排其余8人到另外两个城市有A种，共有7A方法.
所以共有不同的派遣方法总数为A+3A+3A+7A=4088种.
8．多元问题分类法。元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成几类情况分别计数。
例9.（重庆卷文10）某单位拟安排6位员工在今年6月14日至16日（端午节假期）值班，每天安排2人，每人值班1天。若6位员工中的甲不值14日，乙不值16日，则不同的安排方法共有（）
A.30种 B.36种 C.42种 D.48种
【解析】法一：所有排法减去甲值14日或乙值16日，再加上甲值14日且乙值16日的排法，即CC-2×CC+CC=42.
法二：分两类：甲、乙同组，则只能排在15日，有C=6种排法；甲、乙不同组，有CC（A+1）=36种排法，故共有42种方法.
【答案】C
例10.（2010天津理）用四种不同颜色给图中的A,B,C,D,E,F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法用（ ）
A.288种 B.264种 C.240种 D.168种
【解析】分三类：
（1）B、D、E、F用四种颜色，则有A×1×1=24种方法；
（2）B、D、E、F用三种颜色，则有A×2×2+A×2×1×2=192种方法；
（3）B、D、E、F用二种颜色，则有A×2×2=48，所以共有不同的涂色方法24+192+48=264种.
【答案】B
9.特殊问题优先法。某个（或几个元素）要排（或不能排）在某个位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。
例11.从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案？
解析：设全集=｛6人中任取4人参赛的排列｝，A=｛甲跑第一棒的排列｝，B=｛乙跑第四棒的排列｝，根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有：A-A-A+A=252种.
例12.（2009北京卷理）用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（ ）
A．324 B．328 C．360 D．648
【解析】首先应考虑“0”是特殊元素，当0排在末位时，有A=9×8=72（个），当0不排在末位时，有A•A•A=4×8×8=256（个），于是由分类计数原理，得符合题意的偶数共有72+256=328（个）.故选B.
本文为全文原貌 未安装PDF浏览器用户请先下载安装 原版全文 10.多排问题单排法。把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理。
例13.（1）6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是（ ）
A.36种 B.120种 C.720种 D.1440种
解析：前后两排可看成一排的两段，因此本题可看成6个不同的元素排成一排，共A=720种，选C.
（2）8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元素排在后排，有多少种不同排法？
解析：看成一排，某2个元素在前半段四个位置中选排2个，有A种，某1个元素排在后半段的四个位置中选一个有A种，其余5个元素任排5个位置上有A种，故共有AAA=5760种排法.
11.“至少”“至多”问题用间接法。
例14.从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则不同的取法共有（ ）
A.140种 B.80种 C.70种 D.35种
解析：逆向思考，至少各一台的反面就是分别只取一种型号，不取另一种型号的电视机，故不同的取法共有C-C-C=70种.选C.
例5.以正方体的顶点为顶点的四面体共有（ ）
A.70种 B.64种 C.58种 D.52种
解析：正方体8个顶点从中每次取四点，理论上可构成C四面体，但6个表面和6个对角面的四个顶点共面都不能构成四面体，所以四面体实际共有C-12=58个.
例16.四面体的顶点和各棱中点共10点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有（ ）
A.150种 B.147种 C.144种 D.141种
解析：10个点中任取4个点共有C种，其中四点共面的有三种情况：①在四面体的四个面上，每面内四点共面的情况为C，四个面共有4C个；②过空间四边形各边中点的平行四边形共3个；③过棱上三点与对棱中点的三角形共6个；所以四点不共面的情况的种数是C-4C-3-6=141种.
12.混合问题先取后排原则。从几类元素中取出参与排序的元素，再排到一定的位置上，即先取后排。
例17.四个不同球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种？
解析：先取四个球中二个为一组，另二组各一个球的方法有C种，再排：在四个盒中每次排3个有A种，故共有CA=144种.
例18.（2009天津卷理）用数字0，1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有?摇?摇 ?摇个.（用数字作答）
解析：个位、十位和百位上的数字为3个偶数的有：CAC+AC=90种；个位、十位和百位上的数字为1个偶数2个奇数的有：CAC+CCAC=234种，共90+234=324种.
13．元素个数较少的排列组合问题可以考虑枚举法。
例19.设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的盒子现将这5个球投入5个盒子要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的号码与盒子号码相同，问有多少种不同的方法？
解析：从5个球中取出2个与盒子对号有C种，还剩下3个球与3个盒子序号不能对应，利用枚举法分析，如果剩下3，4，5号球与3，4，5号盒子时，3号球不能装入3号盒子，当3号球装入4号盒子时，4，5号球只有1种装法，3号球装入5号盒子时，4，5号球也只有1种装法，所以剩下三球只有2种装法，所以总共装法数为2C=20种.
14．利用对应思想转化法。将复杂的问题转化为简单问题处理。
例20.某城市的街区有12个全等的矩形组成，其中实线表示马路，从A到B的最短路径有多少种？
解析：可将图中矩形的一边叫一小段，从A到B最短路线必须走7小段，其中：向东4段，向北3段；而且前一段的尾接后一段的首，所以只要确定向东走过4段的走法，便能确定路径，因此不同走法有C种.
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