【用微积分证明不等式的技巧和方法】 用微积分证明不等式
时间：2019-01-08 03:30:39 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
摘 要： 不等式的证明方法很多，其证明蕴涵了丰富的数学知识、逻辑推理和非常高的技巧，本文讨论了利用微积分知识证明不等式的技巧和方法。 关键词： 微积分 不等式 证明方法
不等式的证明是微积分应用的一个常见问题，通过解决这类问题，可以加深学生对微积分知识的理解，从而提高学生分析问题和解决问题的能力.本文通过各种题型分析解答，总结出用微积分证明不等式的一些常见基本方法.
1.利用函数的单调性证明不等式
例1：证明：当x＞0时，x＞sinx＞x-.
证明：先证x＞sinx，设f（x）=x-sinx，则f′（x）=1-cosx≥0，即f（x）是增函数.
而f（0）=0，故有当x＞0时，x＞sinx.
设g（x）=sinx-x+，则g′（x）=cosx-1+，g″（x）=x-sinx.而当x＞0有g″（x）=x-sinx＞0，故有g′（x）＞0，即g（x）在（0，+∞）上单调上升.又g（0）=0，所以x＞sinx＞x-.
例2：证明不等式x-＜ln（1+x）（x＞0）.
证明：设f（x）=x--ln（1+x）
∵f′（x）=1-x-=＜0
∴f（x）在（0，+∞）上单调下降
又∵f（0）=0
∴当x＞0时，有f（x）=x--ln（1+x）＜0，
即x-＜ln（1+x）.
2.利用微分中值定理证明不等式
例3：证明当x＞0时，＜ln（1+x）＜x.
证明：设f（t）=lnt，当x＞0时，f（t）在［1，1+x］上满足拉格朗日中值定理条件，
∴?埚ξ∈［1，1+x］，使=，1＜ξ＜1+x
∵ln（1+x）-ln1=ln（1+x），＜＜1
∴＜ln（1+x）＜x
例4：设a＞e，0＜x＜y＜，求证a-a＞（cosx-cosy）alna.
证明：设f（t）=a，g（t）=cost.
由条件可知，f（t），g（t）在［x，y］，（0＜x＜y）上满足柯西中值定理条件，所以?埚ξ∈（x，y）使
即=，0＜x＜ξ＜y＜
∴a-a=a（cosx-cosy）lna/sinξ
＞（cosx-cosy）alna＞（cosx-cosy）alna
3.利用函数的最值证明不等式
例5：设0≤x≤1，p＞1，证明不等式≤x+（1-x）≤1.
证明：设F（x）=x+（1-x），则
F′（x）=px+p（1-x）（-1）=p［x-（1-x）］
F″（x）=p（p-1）x+p（p-1）（1-x）
令F′（x）=0，得x=；因p＞1，所以有
F″（）+p（p-1）［（）+（）］＞0.
故F（x）在［0，1］上最大值是1，最小值是，即有
≤x+（1+x）≤1.
4.利用函数的凹凸性证明不等式
例6：证明xlnx+ylny＞（x+y）ln，（x＞0，y＞0）.
证明：设f（x）=xlnx，则对于x＞0图形是凹的，于是对任意两点x和y，得
xlnx+ylny＞（x+y）ln.
5.利用函数极限证明不等式
例7：证明：当x充分大时，xe＜e.
证明：因为=0，所以x充分大后，有＜1，即xe＜e.
例8：设f（x）=asinx+asin2x+…+asinnx，并且|f（x）|≤|sinx|，a，a，…，a为实常数，求证：|a+2a+…+na|≤1.
证明：∵|f（x）|≤|sinx|
∴≤（x≠0）即
=a+a+…+a≤
上式两边令x→0，由重要极限=1
得|a+2a+…+na|≤1.
参考文献：
［1］费定晖，周学圣编译.吉米多维奇数学分析习题集题解［M］.山东：山东科学技术出版社，2001.08.
［2］赵振威主编.中学数学教材教法［M］.上海：华东师范大学出版社，2000.01.
［3］刘玉琏，傅沛仁编.数学分析讲义［M］.北京：高等教育出版社，1997.12.
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