一题再问_再拍一题
时间：2018-12-24 03:20:04 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
例.已知，在正方形ABCD中，E是BC的中点，点F在CD上，∠FAE=∠BAE。 求证：AF=BC+FC。（2000年湖北省荆门市中考题，苏科版教材的选题）
证明：过点E作EG⊥AF交于点G，
∵∠FAE=∠BAE，∠ABE=∠AGE，AE=AE
∴△ABE≌△AGE
∴AB=AG，BE=GE
又∵BE=EC
∴EG=EC
∴∠EGC=∠ECG
又∵∠EGF=∠ECF=90°
∴∠CGF=∠GCF
∴FG=FC
∴AF=AG+GF=AB+CF
［评析］在解直线形的问题时，如题目中出现角平分线时，常利用角平分线的轴对称性构建全等三角形。
第一问：还有证法吗？
证明：如图3，延长FC和AE交于点G。
根据正方形ABCD可知，AB=BC，AB∥CD，∠ABD=∠ECG=90°。
又∵∠AEB=∠CEG，E为BC中点
∴△ABE≌△GCE
∴CG=AB
又∵AB∥CD
∴∠CGE=∠BAE
又∵∠FAE=∠BAE
∴AF=FG
∵FG=FC+CG=FC+BC
∴AF=BC+FC
［评析］在解直线形的问题时，如题目中出现中点和平行线时，常将与中点有关的线段延长与平行线相交，从而构建全等三角形。
第二问：AF= BC+DF吗？
证明：将△ADF绕点A顺时针旋转90°使AD与AB重合得△ABG，
则G、B、C三点在同一条直线上，AF=AG，∠FAD=∠BAG，GB=DF。
又∵AD∥BC
∴∠EAD=∠BEA
又∵∠FAE=∠BAE
∴∠FAE+∠FAD=∠BAE+∠BAG
即∠DAE=∠AEG
∴∠GAE=∠AEG
∴AG=GE=BE+GB
又∵BE= BC，GB=DF
∴AF= BC+DF
［评析］在解有关正方形的题目中，经常利用正方形的边相等的特点，将某个图形加以旋转与另外一个图形拼接。
第三问：CF与CD有何数量关系？
注：该题也可由第一问中的解法证得。
一条题目往往可以挖掘其中的各个条件，提出许多问题，这样可以达到事半功倍、举一反三的效果，从而避免大量练习的题海战术，希学生们多向题目问问题。
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
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