平面几何图形滚动的奥秘_几何图形有哪些

时间：2020-02-23 07:35:01　来源：雅意学习网本文已影响人

　　近年来高考中出现了平面图形的滚动问题，试题难度大，得分率低．问题通常包括求滚动轨迹，求围成图形的面积或者周长等方面；又涉及在直线上滚动、在平面图形外部滚动和在平面图形内部滚动等类别．求解这类问题的关键点是弄清楚滚动的轨迹，而同学们常常因画不出滚动的轨迹而无从下手，只能凭空猜测．下面笔者以几个例子说明求滚动轨迹的方法和技巧，与读者共勉．
　　
　　在直线上滚动
　　如图1放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动，设定点P（x，y）的轨迹方程为y=f（x），则f（x）的最小正周期为_______；y=f（x）在其两个相邻点间的图象与x轴所围成的面积为________．
　　说明 “正方形PABC沿x轴滚动”包括沿x轴正方向和沿x轴负方向滚动．沿x轴正方向滚动是指先以顶点A为中心顺时针旋转，当顶点B落在x轴上时，再以顶点B为中心顺时针旋转，如此继续，类似地，正方形PABC可以沿x轴负方向滚动．
　　破解无论正方形沿着x轴正方向还是负方向滚动，再次使点P接触x轴的路程由上图可知．以向x轴正方向滚动为例，滚动过程分为三个阶段．
　　第一阶段（①→②）：正方形与x轴接触的点为A点，此时点P的运动轨迹为以A点为圆心，AP=1为半径的圆弧；
　　第二阶段（②→③）：正方形与x轴接触的点为B点，此时点P的运动轨迹为以B点为圆心，BP=为半径的圆弧；
　　第三阶段（③→④）：正方形与x轴接触的点为C点，此时点P的运动轨迹为以C点为圆心，CP=1为半径的圆弧．
　　所以y=f（x）的最小正周期为4，其与x轴围成的图形如图2所示，其面积为：S=π×12+π×（）2+2××1×1=π+1．
　　如图3，一个“凸轮”放置于直角坐标系x轴的上方，其“底端”落在原点O处，一顶点及中点M在y轴正半轴上，它的外围由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成．今使“凸轮”沿x轴正向滚动过程中，“凸轮”每时每刻都有一个“最高点”，其中心也在不断移动位置，则在“凸轮”滚动一周的过程中，将其“最高点”和“中心点”所形成的图形按上、下放置，应大致为（）
　　破解设正三角形为△ABC，初始状态为凸轮弧BC中点与x轴相切，由初始状态到①过程中，凸轮的最高点始终为A点，由于A到切点的距离即为A点的高度，这个距离也为半径，所以最高点的高度不变；而中心点M由初始的最低状态逐渐升高；在由①→②的过程中，凸轮上与x轴接触的为点C，这时最高点不再是点A，而是弧BA上的某点，因为点C到弧BA上任意一点的距离都为半径不变，所以这时最高点的高度也不变，到达状态②时，三角形中心点M的高度也达到最大；由凸轮的对称性，状态③也可以看成是初始状态，所以由初始状态→①→②→③即为轨迹的一个周期，完整的轨迹图如图所示，故本题选A．
　　反思平面图形在直线上滚动一般有图形顶点与直线点接触（如例1）和曲线与直线相切接触两类（如例2）．若是前者，图形上某点的滚动轨迹一般为以接触点为圆心，该点与接触点之间距离为半径的圆弧；若是后者，其轨迹要视该点与切点之间的距离变化情况而定．比如例2中M点与切点之间的距离在发生周期性的变化，故其轨迹为周期性的曲线．此外，一般几何图形滚动一圈即为一个周期（状态和初始状态相同），确定一周滚过的距离即可确定轨迹的周期．
　　
　　在外部滚动
　　一个半径为1的圆在一个边长为2的正三角形外沿着三条边滚动（如图5所示），圆的圆心O的轨迹形成的封闭图形的面积为____，周长为_____．
　　破解当圆在三条边上滚动时，形成的轨迹是平行于边的线段，当圆运动到顶点时，顶点与圆接触，此时圆心的轨迹是以顶点为圆心，1为半径的圆心角θ=180°－60°=120°的圆弧（三分之一圆周），所以其轨迹图如图6所示，则其面积S=×a×a+3×a×r+3××π×r2=π+6+，周长C=3×a+3××（2πr）=2π+6．
　　反思几何图形在多边形外部滚动时，在边上的滚动可以理解为题型一中的在直线上滚动，而当通过多边形顶点时（转角处），和几何图形接触的是多边形的顶点，此时图形上某点的滚动轨迹是以顶点为圆心，该点到顶点之间的距离为半径的圆弧，其圆心角大小为多边形在该点内角的补角，而圆绕任意多边形滚动形成的轨迹的所有圆弧的圆心角度数之和为360°，即一个圆周．
　　
　　在内部滚动
　　如图7，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M和N是小圆的一条固定直径的两个端点．那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点M，N在大圆内所绘出的图形大致是（）
　　破解设大圆的圆心为O，小圆的圆心为O′，以O为坐标原点建立如图8所示的直角坐标系，由题意可知，小圆与大圆相内切，且小圆总过大圆的圆心O．当小圆圆心从初始状态运动到第三象限时（如图8），设此时小圆与x轴的交点为M′，小圆与大圆内切大圆于点A，设∠AOM为θ，则∠OM′O′=θ，从而，∠AO′M′=2θ．此时，大圆圆弧MA的弧长为θ，而小圆圆弧M′A的弧长为×2θ=θ，所以，小圆在这个滚动过程中，大圆走过的弧长MA与小圆弧长M′A相等，故此时M′点即为M点．当小圆圆心运动到其他象限时，用同样的方法可以得到以下结论：M点只在x轴上移动；同理可以知道N点只在y轴上移动，轨迹图如图所示，故本题选A．
　　
　　图8
　　反思在内部滚动通常有在多边形内部滚动和在圆或椭圆中滚动两种情形．在多边形中滚动要搞清楚是什么点绕什么点滚动，轨迹为直线还是以某点为圆心的圆弧；在圆内滚动要善于抓住图形中的关键点，如上例中的O点，它是大圆的圆心同时也是小圆在滚动过程中始终通过的点，从而得到弧长AM与弧长AM′相等的结论．
　　总之，要求滚动点的轨迹，关键点是要根据不同阶段的滚动性质变化（如滚动接触点的变化，滚动由点接触变为相切接触等）来确定轨迹为直线、圆弧，还是其他曲线．这要求我们在解题中不断总结，并且能够划分滚动阶段，分清滚动性质，做到这些，问题便可迎刃而解．
　　

平面几何图形滚动的奥秘_几何图形有哪些

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