【高等代数教学中的启发式教育研究】 高等代数第四版答案pdf
时间：2019-02-11 03:30:11 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
摘要： 在高等代数教学中，教师采用合理的启发式教学方式，让新知识与学生认识结构中的原有的有关知识建立联系，原有知识能同化新知识，同时教师每一步新的教学目标都是建立在学生自觉需要的基础上，充分地调动了学生的学习的自觉性和积极性。
关键词：启发式 线性方程组 推广 矩阵
高等代数作为数学基础课之一，其内容和方法在后续课程学习中所担当的基础地位是毋庸置疑的。例如，高等代数中介绍一些概念像矩阵，行列式，线性空间，线性变换，线性相关（无关），基，内积运算等，这些都是重要的概念，在空间解析几何，计算方法，线性规划，常微分方程，线性泛函等课程中继续使用。课程教学所采取方式离不开课程本身特点和教学对象的特点，比如在实变函数的教学时，由于集合论部分的内容是按公理化组织的，为了在规定学时内给学生打下一些数学文化的底蕴，在这部分内容的教学中教师常采用注入式教育，尽管学生在学习过程中觉得枯燥，但由于到高年级才开设这门课程，所以学生在心理上和理解能力上还是可以接受的。高等代数是在大学一年级新生中开设的，也就是说教师面对的是一群刚踏入大学殿堂的高中生。如何调动起他们学习数学的兴趣和主动性，让他们能正确看待和理解把握在学习中遇到的一些新的概念，新的方法技能，这些都是高等代数教学中的任务。按现行的教学大纲，高等代数［１］的教学内容主要有这样几部分：多项式理论，线性方程组理论，矩阵理论，线性空间和线性变换，欧氏空间理论，其中我理出一条线就是围绕解决方程（组）的解的问题。高等代数内容有自身的特点，也即所教学的内容和学生以前所学的知识有千丝万缕的联系，所以采用合理的启发式的教学方式［２］，让新知识与学生认识结构中的原有的有关知识建立联系，原有知识能同化新知识，从而获得明确而稳定的意义，而不只是靠简单地死记硬背获得知识，同时每一步新的教学目标都是建立在学生自觉需要的基础上，充分地调动了学生学习的自觉性和积极性，这对教师的教与学生的学都有很大的促进作用。
如果在高等代数教学中抓住上面提到的一条线，那么高等代数教学的开头和学期结束时收尾都变得很简单但又都意味深长。宋代的朱熹认为：“读书无疑，须教有疑，有疑者却要无疑，到这里方是长进。”他强调教学要从“疑问”入手，教师的作用在于指导。下面我们从中学数学中的一个问题开始，让学生解一元二次方程x -2x-3=0，这个问题很容易解决，学生在心理上觉得很轻松，他们对这太熟了。张载说过“于不疑处有疑，方是进矣。”下面一个问题提出，方程的系数都是整数（实数，复数），那么方程的根是否都是整数（实数，复数）？由一元二次方程根与系数的关系，学生可以用反例或证明的方式给出肯定或否定的回答。讨论的结果是学生认识到方程的根所在范围不是想象的那样，这个问题算是解决了，反观一下，实系数下方程ax +bx+c=0实根存在及个数的判定依赖于这样一个式子ax +bx+c=a(x- )(x- )，也就是说，在中学我们解决这个问题时需要引入和首先掌握的是根号符号及其运算。如果学生对根号符号及其运算这个工具不熟悉或掌握，那么他就不能很好地回答这个问题。回顾了这个简单问题及解决过程后，学生可以得出一元二次方程根情况与所讨论数域是有关联的这样一个结论。自然地教师会提出下一个问题：一元n（n>2）次整（实，复）系数方程有没有整（实，复）根，个数为多少？学生有前面的铺垫后会在思考这些问题，或许他们会给出各种回答，例如，一元三次方程的根能否象上例一样由根与方程系数关系来判定，一元n次多项式是否可以写成若干个次数较低多项式的乘积等。在学生主动思考和求知欲下，教师给出第一部分多项式理论的教学计划，让学生了解为解决这些问题需要引入一些新的概念和方法，像带余除法，公因子，不可约多项式，重因式等，以及因式分解理论，并了解解决问题的步骤。这样处理的好处使得学生能正确对待学习过程中碰到的概念，方法和技能的掌握，每一次课都有自己学习目标。对于基础课高等代数的教学，它和后继课程有着千丝万缕的联系，我个人觉得教师就应该像一个引路人，通过讲解和练习来指导学生掌握好大纲要求的内容和方法，同时也要点一下所学内容和后继课程的联系，激发学生端正学习态度，正确对待学习中碰到的问题。例如，在运用代数学基本定理时可以提到复变函数中的儒歇定理；在回答一般情形下一元五次方程的根能否像上例一样由根与方程系数关系来判定问题时，可以提一下伽罗瓦理论和近世代数课程；学习多元多项式部分时，可以提一下Grobner基和多元多项式方程组解的问题；就具体求解一元n次方程根，可以提一下后续课程计算方法，这些点到为止，不铺开，主要让学生了解为了解决一些数学问题往往需要准备一些新的数学工具和思路，正确对待。
矩阵是高等代数中引入和研究的一个重要对象，在教学中可以直接给出矩阵的定义，让学生认识它。但如果教师在给出矩阵的定义前，介绍一些引入矩阵的一些背景知识，可以消除矩阵引入的神秘感，让学生感觉到一些数学概念或工具的引入，有时是很自然的，他们自己根据解决问题的需要也可以定义或引入一些概念。看下面的三个具体例子。
例1.在年终时要统计，将每月报表各行各列对应元素相加；
例2.各车间各月使用材料的费用统计。
例1.
上述两个例子分别可以抽象为矩阵的加法和乘法。
例3如下二元一次方程组是解决鸡兔同笼问题的，x+y=102x+4y=32，其中x表示鸡的数量，y表示兔的数量。记得一次听吴文俊院士数学做机械化报告时，吴院士曾幽默地提到他小学时未学代数方程组前，做这道题花了不少时间，但现在我们在引入两个变量x，y建立线性方程组模型后，问题就变得非常简单了。具体解上述方程组，学生可以利用中学学过的行列式或高斯（Guass）消元法，这两种方法都是程序式，机械化的操作。计算机的出现很大程度地帮助人们的从脑力劳动解放了出来，解n元一次方程组问题也是计算机的一个应用。回顾一下高斯(Guass)消元法，上述方程求解整个过程可以通过对下列矩阵的行操作来完成（把变量x,y不写出来）。
换言之，上述的二元一次方程组解所含的信息全部在上述的增广矩阵中，而计算机仅对上述增广矩阵处理也节省了不少存储空间。其实，上述方程写成矩阵形式为AX=B，其中X=xy，A=1124，B=1032。这个问题解决了，一个一般的问题自然提出，对于归结为n元一次方程组模型的问题，如何来求解方程的解？学生自然地会考虑能否把中学时学到的方法推广到解决上述问题，这样教师就顺理成章地将解n元一次方程组问题先分两块进行：一、引入n阶行列式，讲解克兰姆（Gramer）法则；二、对一般的n元一次方程组，运用矩阵观点和方法来处理。
我国古代的孔子是教育史上首创启发式教学思想的教育家，“举一反三”、“予一以贯之”、“闻一而知十”等强调学习即要从多闻、多见中体识到“一以贯之”的一，又要由“一以贯之”的一推见到多知，说明学习过程中迁移思想。从上例中的矩阵方程的AX=B形式联想到ax=b，a,b∈R,若a≠0，则由a a=1，得x=a b。教师将学生引导到这里，许多工作要做了，A是个矩阵，尽管矩阵有加、减、乘和数乘，但A 应该是什么运算？此处“1”又是什么？在什么条件下，A 存在？应该说这些问题考虑起来都比较难，需要在认识有所突破。反观一下，矩阵形式的高斯消元法第一步，把第一行乘-2加到第二行，11102432→11100212可以看作 1 0-2111102432=11100212。指导学生认识到这点很重要，高斯消元法过程完成可以用一系列矩阵左乘来完成，即若存在矩阵P ，P ，…，P 使得P …PPA=1001，则A =P …PP ，X=A B。到这里，除了了解解n元一次方程组过程外，学生已经接触到了除整数，实数，复数，向量外的一个新的数学对象：矩阵，在矩阵组成的集合里，考虑和研究其中的元素的加、减、乘、数乘及取逆运算，还有特殊的矩阵包括单位矩阵，对角矩阵，若当形矩阵，对称矩阵，正定矩阵，正交矩阵，以及矩阵运算的结合律，分配律，交换律，消去律等。
本文为全文原貌 未安装PDF浏览器用户请先下载安装 原版全文 上面考虑的n元一次方程组AX=B，情形都是A为n×n矩阵且非退化，即A是可逆矩阵。下面考虑如下齐次线性方程组情形，AX=0即A为n×m矩阵。易见方程组有解X=0，其中0为m维向量，若方程组解不唯一，此时考虑的是方程组解的结构问题，这部分理论性较强，但结构的概念仍可通过学生容易理解的简单线性空间的例子来说明的。例如，平面在建立直角坐标系后，每一点都可用向量(x ,x )来表示，在定义了通常意义下向量的加法和数乘以后，平面上所有的点构成了一个线性空间V，这个空间的元素虽然很多，但结构却很简单，因为任一点(x ,x )都可表为(x ,x )=c (1,0)+c (0,1)且表法唯一，其中c ,c ∈R，向量(1,0),(0,1)是独立的，不能互相线性表出，两者构成平面V的极大线性无关组，或称为一组基。为了给出齐次线性方程组的解的结构，需要引入线性空间一些概念，象向量的线性无关性，线性相关，极大线性无关组，线性表出等，再由此给出向量组的秩，矩阵的秩等概念。有了上述准备后，可以验证齐次线性方程组所有的解构成了一个线性空间，通过高斯消元法给出了齐次线性方程组的基础解系和系数矩阵A的秩与基础解系个数的关系，进而给出了解的结构。对于非齐次线性方程组，在通过高斯消元法判定是否有解后，先求出一个特解，将问题转化为求出与之相应齐次线性方程组（或称导出组）的基础解系，这样就可得到原方程组的所有解的表达式，需要指出的是非齐次线性方程组的解集合不构成一个线性空间。线性方程组解理论的一个重要应用就是求解矩阵的特征值和特征向量，以及在其化可对角化矩阵为对角形而寻找过渡矩阵和正交矩阵中的应用。
“学而不思则罔，思而不学则怠”。如果给出这样一个问题让学生考虑：方程ABX=CX=0（1）与BX=0（2）是否等价，其中A，B，C为矩阵，X为一向量？方程组（2）的解是方程组（1）的解，这一点学生能回答；但方程组（1）的解却不一定是方程组（2）的解，换言之，方程组（1）与（2）不一定等价。再回顾一下高斯（Guass）消元法，实际上每一步初等变换都可看成是初等矩阵左乘增广矩阵，为什么经初等变换后所得方程组与原方程组等价呢？这个问题的思考可以从简单A，B，C为1×1向量开始，进而帮助学生抽象到运算的消去律。高等代数最后部分内容在教学处理上通过和学过的平面几何知识类比基础上，在线性空间中定义内积给出了欧氏空间的概念，并脱离具体的空间进行讨论，但所得的许多结果在学生所熟悉的平面几何中能找到原型，这里教学仍从特殊推广到一般，训练抽象能力，为了帮助理解所得结论可以再回到特殊情形。
对我国航天事业作出卓越贡献的钱学森先生，大学时的数学非常好，后来，他就母校作为工科大学的数学教学改革曾给出过自己的看法，谈到数学教育要让学生学会数学的思考方法，为巩固一些概念和方法需要做适量的练习，但不要迷于题海中，可以利用现有的数学软件（Mathematics，Maple），从作题中解脱出来，有更多时间和精力来思考一些问题。
参考文献：
［1］高等代数.北京大学数学力学系，人民教育出版社.
［2］熊梅.启发式教学原理研究.北京：高等教育出版社，1998.
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
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