等轴双曲线的性质【巧用等轴双曲线性质解竞赛题】
时间：2019-02-02 03:17:51 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
玻意耳定律指出：温度不变时，一定质量的气体的压强跟它的体积成反比。其数学表达式为pV=恒量。气体的等温变化也可用图线来表示。用直角坐标系的横、纵轴分别代表气体的体积V、压强p，气体在温度不变时，压强p与体积V的关系在p-V图上是一条关于直线p=V对称的等轴双曲线，如图1所示。而且气体温度越高对应的双曲线离坐标原点越远。�
利用平面解析几何方法和等轴双曲线知识解决气体性质中温度极值问题相当方便。�
例1 （第5届全国竞赛）已知每摩尔单原子理想气体温度升高1K时，内能增加1.5R（R为普适气体常量）。现有（2.008.31）mol的单原子理想气体，经历ABCDA循环过程，在p-V图上是一个圆，如图2。图中横、纵坐标分别表示气体的体积和压强。（1）试分析该循环过程中哪一点（H）气体温度最高，并求出该温度值。（2）气体从状态C到状态D过程中，内能增量，外界对气体做功，气体吸热各为多少？�
析与解 在p-V图上理想气体等温变化过程是一等轴双曲线，它关于直线p=V对称，温度越高的双曲线与该直线的交点距坐标原点越远。ABCDA循环过程中在p-V图上的各点都可看成是多个等温线上的点，只有与圆相外切的那只双曲线才是对应温度最高的，且切点与圆心的连线必在p=V直线上，即最高温点H必在直线P=V与圆的远交点上。�
气体从状态C到状态D过程中，是体积减小的压缩过程，外界对气体做功在数值上等于p-V图上CD圆弧下的面积，由热力学第一定律即可求出此过程中气体的吸热问题了。�
例2 （第15届全国竞赛）1mol理想气体缓慢地经历了一个循环过程，在p-V图上该过程是一个椭圆，如图3。已知此气体处在与椭圆中心O点所对应的状态时，其温度为T�0=300K。求在整个循环过程中气体的最高温度T�1和最低温度T�2各是多少？�
析与解 由于气体质量一定，欲求T的最大值最小值，即在椭圆约束下求pV的极值。现已面市的各种资料所给参考解答无外乎参数方程法、椭圆双曲线（等温线）相切法、将椭圆坐标变换成圆法三种方法。但这三法中有的数学要求过高（现行中学数学教学大纲中已取消），有的在赛场上临场发挥时难以想到，即使想到了，数学运算也较烦琐。而若采用最高温、最低温所在的
等温线（等轴双曲线）与椭圆相切，且切点在直线p=p�0V�0V上，也就是说在椭圆与直线P=P�0V�0V的交点，可极方便地求解。（即使椭圆不在此图处，通过调整坐标轴标度比例也可实现）。�
由图可写出此椭圆的方程为�
至此，可利用上述方法，得出下面问题的答案了。�
0.1mol的理想气体经历图4示的循环过程，由初态A经B到C，最后又回到A。此过程中最高、最低温度是多少？
(栏目编辑陈 洁)
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。
本文为全文原貌 未安装PDF浏览器用户请先下载安装 原版全文
