[巧用构造法解高中数学题] 高中数学小题巧练答案
时间：2019-01-12 03:19:19 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
摘 要：在高中数学中可以运用构造法解高中代数题和几何题。解代数题方面可以利用构造方程解有关代数式求值问题，构造数列证明不等式，构造向量求最值。而在解高中几何题时，可以构造三棱锥、长方体等来解，本文主要从以上两个个方面来论述利用构造法解高中数学问题。
关键字：构造法；代数；几何
中图分类号：G640文献标识码：A文章编号：1003-2851（2011）04-0142-01
所谓“构造法”就是根据题设条件和结论的特殊性构想组成的一种新的数学（不等式、数列、复数或几何图形等）形式，进而打破常规、另辟蹊径、获得简捷、精巧的解答。构造法的思想充分体现了“它山之石可以攻玉”的哲理。
一、构造法在高中代数中的应用
（一）构造方程解有关代数式求值问题
对于复杂的数学问题，我们可以根据需要结合条件进行思路框架的设计。有些题为了运用判别式求解代数式值（或范围），就需要构思一个“一元方程”框架，然后利用方程的思路。
例、设x>y>z且x+y+z=1,x2+y2+z2=1求的范围。
解：由x+y+z=1得x+y=1-z(1)
将(1)的两边平方，并将x2+y2+z2=1代入，得xy=c2-c (2)
由(1)、(2)可知，x,y是方程x2+(z-1)x+(z2-z)=0的两个不等实根。于是△=(z-1)2-4(z2-z)=-3z2+2z+1>0解得-1（其中n∈N+）。
分析：构造数列模型：an=++…-1,则有
an+1-an=++-=+-
=>0.
所以数列{an}为递增数列。又因为a1=++>0,故an>0（其中n∈N+））.原不等式得证。
（三）构造向量求最值
新教材的一个重要特点是引入向量，代数、几何、三角中的很多问题都可以利用向量这一工具来解决。
例、已知a,b,c为正数，求函数y=+的最小值。
解：构造向量：=(x,a),=(c-x,b),则原函数可化为y=+≥+==,所以，ymin=.
二、构造法在高中几何中的应用
（一）构造三棱锥解有关几何题
三棱锥是一个特殊的椎体，它的每一个顶点都可以作为一个三棱锥的顶点，每一个面都可以作为三棱锥的底面。利用它不但可以灵活地计算三棱锥的体积，而且还可求点到面或异面直线间的距离。
例：已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,求异面直线A1D与AC间的距离。
分析：如图2-1所示，连接A1C1,AC1,A1D,构造三棱锥A-A1DC1,则AC//A1C1，因为AC//平面A1DC1,所以，A到平面A1DC1的距离h就是AC与DA1间的距离，有××()2×h=××1×1×1=，则h=，即A1D与AC间的距离为
（二）构造长方体解有关几何题
长方体的六个面都是矩形，每个顶点上的三条棱两两相互垂直。利用这些性质，构造长方体，常能使很多问题得到简化。
例、已知ABCD是边长为4的正方形，E、F为AB和AD的中点，GC⊥平面ABCD与C，且GC=2，求点B到平面GEF的距离。
分析：如图2-2所示，以边长为4的正方形ABCD为底面，GC为侧棱，构造长方体。由，得BD//面EFG，到平面EFG的距离，转化为底面中心O到平面EFG的距离：S=•CG=.
通过以上在高中代数及高中几何中的应用，可以看出构造法对于活跃学生思维、开发学生智力、培养学生创新意识和探究精神有着十分重要的意义。但由于本人知识水平有限，论文的完成较仓促，例证也不够深刻完善，存在着一些不足，希望广大数学爱好者提出宝贵的意见。
参考文献
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