高中数学等差数列章节知识易错点内容探析 等差数列典型易错例题
时间：2019-01-09 03:31:37 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
摘 要： 本文对解题过程中的问题进行了整理、梳理、汇总和研析，总结出学生易出现错误解答的原因：错误理解公差的取值而漏解，不能正确理解等差数列的性质，错用等差数列前几项和的性质。
关键词： 高中数学 等差数列 易错点
等差数列知识点内容是高中数学学科数列章节知识体系的重要组成部分，是初中数学知识实数知识体系内容的有效升华，是一类特殊的数列。等差数列知识以其自身所具有的性质，在人们日常生活中有着深刻而又广泛的应用。我通过对等差数列的定义、通项公式、等差中项概念、等差数列性质、等差数列判定方法，以及等差数列前n项和公式的推导和与等差数列的前n项和有关的等差数列的性质等知识内容的教学，发现学生在等差数列相关问题解答过程中，存在着这样或那样的问题。我在教学过程中，对学生解题过程中的问题进行了认真的整理、梳理、汇总和研析，原因主要有以下方面。
一、错误理解公差的取值而漏解
学生作为学习知识的主体，在等差数列概念、性质等内容的学习过程中，由于受思维能力水平局限性的影响（在等差数列中公差的取值可能为正值、负值或0），在解题时往往会主观地认为公差大于0而造成漏解。在教学活动中，教师要引导学生正确而全面地理解概念及其性质，从而运用全面的思维理念，进行问题的有效解答。
例题：已知b是a，c的等差中项，且lg（a+1），lg（b-1），lg（c-1）成等差数列，且a+b+c=15，求a、b、c的值.
某一学生解题过程如下：
解：∵2b=a+c， a+b+c=15，∴3b=15，b=5.
设等差数列a，b，c的公差为d，则a=5-d，c=5+d.
∵2lg（b-1）=lg（a+1）+lg（c-1），
∴2lg4=lg（5-d+1）+lg（5+d-1）=lg［25-（d-1）］.
∴16=25-（d-1）∴（d-1）=9，∴d-1=3，d=4.∴a，b，c依次为1，5，9.
通过对等差数列公差的概念和取值方法等内容的分析，发现该解答过程中，在解（d-1）=9时，开平方得d-1=3，仅取了算术平方根是错误的。应该注意到在解题过程中，遇到求某数的算术平方根时一般应求出两个值，再根据题设条件来决定取舍，如果仅取算术平方根，那么往往会发生漏解的现象。因此，正确的解答过程如下。
解：∵2b=a+c，a+b+c=15，∴3b=15，b=5.
设等差数列a，b，c的公差为d，则a=5-d，c=5+d.
∵2lg（b-1）=lg（a+1）+lg（c-1），∴2lg4=lg（6-d）+lg（4+d），
∴16=（6-d）（4+d），
∴d=4或-2，∴a，b，c的值依次是1，5，9或7，5，3.
二、不能正确理解等差数列的性质而出现解题错误
在等差数列{a}中，如果m，n，p，q∈N，且m+n=p+q，则a+a=a+a.但在解答相类似的问题过程中，学生一般会错误地将该结果总结为a=a+a.这就要求教师在进行这一问题教学过程中，在进行问题练习的基础上，还要注意有效引导学生对等差数列的性质内容进行正确理解，找到进行等差数列解答的两种最基本和最广泛的性质：（1）若m+n=p+q（m，n，p，q∈N），一定有a+a=a+a（反之亦然）；（2）若（m+n）/2=p（m，n，p∈N），则一定有a+a=2a.从而使学生能够熟记并灵活运用，实现学生对等差数列性质的正确运用。
例题：设{a}是等差数列，a=q，a=p（p≠q），试求a.
学生由于对等差数列的性质不能正确地理解，进行了如下解答：
∵设{a}是等差数列，∴a=a+a=p+q.
这时，我引导学生对等差数列的性质进行复习，学生发现了上述解题过程错误.纷纷说出正确解题过程为：
解：∵a=a+（p-1）d，a=a+（q-1）d，∴a+（p-1）d=q，a+（q-1）d=p，
组成方程组，得出：（p-q）d=q-p.
∵p≠q，∴d=-1.代入方程中，有a+（p-1）（-1）=q，
∴a=p+q-1，故a=0.
为使学生对等差数列的性质有准确和熟练的掌握和运用，我在进行上述问题训练活动后，还向学生布置了“已知5个数成等差数列，且它们的和为25，它们的平方和为165，求这5个数.”等凸显等差数列性质有效运用的综合性问题，让学生进行有效训练，为学生提供进行问题解答的时机，从而为正确高效解答类似问题提供经验和方法基础。
三、错用等差数列前n项和的性质
等差数列前n项和的性质作为等差数列章节性质内容的重要部分，是学生掌握等差数列知识内涵，正确解答等差数列问题的重要手段和途径，但由于学生在解答等差数列{a}的前m项和S的过程中，往往由于思维惯性，经常将S，S-S，S-S成等差数列，误认为S，S，S成等差数列而导致解题出错。如在讲解“等差数列{a}中，S=10，S=30，求S.”问题时，教师引导学生在进行这一问题解答过程中，有意提醒学生，要注意解答该类问题过程中，要切实避免“S，S-S，S-S成等差数列，误认为S，S，S成等差数列”情况的发生。学生在教师的提醒和引导下，通过结合等差数列前n项和的性质解答方法，得出以下解题过程：
解：由条件得S=10，S-S=20，由性质得S-S=30，从而S=60.
总之，新课程教学目标的提出，为高中数学教师教学活动的开展提出了明确的要求，同时，通过对历年高考试卷命题知识点的分析，数列内容在整个试卷总分的比重较大，考查的内容中包含了等差数列的知识要点及其性质内容，有效地考查了学生逻辑思维推理能力、运算能力，以及运用数列中的知识和方法分析问题与解决问题的能力。因此，在等差数列知识教学中，教师要善于寻找规律，找出学生解题错误所在，实行“针对性”、“实效性”的解题活动，帮助学生改正解题中的错误方法，实现学生良好思维习惯和学习能力的有效形成。
摘 要： 本文对解题过程中的问题进行了整理、梳理、汇总和研析，总结出学生易出现错误解答的原因：错误理解公差的取值而漏解，不能正确理解等差数列的性质，错用等差数列前几项和的性质。
关键词： 高中数学 等差数列 易错点
等差数列知识点内容是高中数学学科数列章节知识体系的重要组成部分，是初中数学知识实数知识体系内容的有效升华，是一类特殊的数列。等差数列知识以其自身所具有的性质，在人们日常生活中有着深刻而又广泛的应用。我通过对等差数列的定义、通项公式、等差中项概念、等差数列性质、等差数列判定方法，以及等差数列前n项和公式的推导和与等差数列的前n项和有关的等差数列的性质等知识内容的教学，发现学生在等差数列相关问题解答过程中，存在着这样或那样的问题。我在教学过程中，对学生解题过程中的问题进行了认真的整理、梳理、汇总和研析，原因主要有以下方面。
一、错误理解公差的取值而漏解
学生作为学习知识的主体，在等差数列概念、性质等内容的学习过程中，由于受思维能力水平局限性的影响（在等差数列中公差的取值可能为正值、负值或0），在解题时往往会主观地认为公差大于0而造成漏解。在教学活动中，教师要引导学生正确而全面地理解概念及其性质，从而运用全面的思维理念，进行问题的有效解答。
例题：已知b是a，c的等差中项，且lg（a+1），lg（b-1），lg（c-1）成等差数列，且a+b+c=15，求a、b、c的值.
本文为全文原貌 未安装PDF浏览器用户请先下载安装 原版全文 某一学生解题过程如下：
解：∵2b=a+c， a+b+c=15，∴3b=15，b=5.
设等差数列a，b，c的公差为d，则a=5-d，c=5+d.
∵2lg（b-1）=lg（a+1）+lg（c-1），
∴2lg4=lg（5-d+1）+lg（5+d-1）=lg［25-（d-1）］.
∴16=25-（d-1）∴（d-1）=9，∴d-1=3，d=4.∴a，b，c依次为1，5，9.
通过对等差数列公差的概念和取值方法等内容的分析，发现该解答过程中，在解（d-1）=9时，开平方得d-1=3，仅取了算术平方根是错误的。应该注意到在解题过程中，遇到求某数的算术平方根时一般应求出两个值，再根据题设条件来决定取舍，如果仅取算术平方根，那么往往会发生漏解的现象。因此，正确的解答过程如下。
解：∵2b=a+c，a+b+c=15，∴3b=15，b=5.
设等差数列a，b，c的公差为d，则a=5-d，c=5+d.
∵2lg（b-1）=lg（a+1）+lg（c-1），∴2lg4=lg（6-d）+lg（4+d），
∴16=（6-d）（4+d），
∴d=4或-2，∴a，b，c的值依次是1，5，9或7，5，3.
二、不能正确理解等差数列的性质而出现解题错误
在等差数列{a}中，如果m，n，p，q∈N，且m+n=p+q，则a+a=a+a.但在解答相类似的问题过程中，学生一般会错误地将该结果总结为a=a+a.这就要求教师在进行这一问题教学过程中，在进行问题练习的基础上，还要注意有效引导学生对等差数列的性质内容进行正确理解，找到进行等差数列解答的两种最基本和最广泛的性质：（1）若m+n=p+q（m，n，p，q∈N），一定有a+a=a+a（反之亦然）；（2）若（m+n）/2=p（m，n，p∈N），则一定有a+a=2a.从而使学生能够熟记并灵活运用，实现学生对等差数列性质的正确运用。
例题：设{a}是等差数列，a=q，a=p（p≠q），试求a.
学生由于对等差数列的性质不能正确地理解，进行了如下解答：
∵设{a}是等差数列，∴a=a+a=p+q.
这时，我引导学生对等差数列的性质进行复习，学生发现了上述解题过程错误.纷纷说出正确解题过程为：
解：∵a=a+（p-1）d，a=a+（q-1）d，∴a+（p-1）d=q，a+（q-1）d=p，
组成方程组，得出：（p-q）d=q-p.
∵p≠q，∴d=-1.代入方程中，有a+（p-1）（-1）=q，
∴a=p+q-1，故a=0.
为使学生对等差数列的性质有准确和熟练的掌握和运用，我在进行上述问题训练活动后，还向学生布置了“已知5个数成等差数列，且它们的和为25，它们的平方和为165，求这5个数.”等凸显等差数列性质有效运用的综合性问题，让学生进行有效训练，为学生提供进行问题解答的时机，从而为正确高效解答类似问题提供经验和方法基础。
三、错用等差数列前n项和的性质
等差数列前n项和的性质作为等差数列章节性质内容的重要部分，是学生掌握等差数列知识内涵，正确解答等差数列问题的重要手段和途径，但由于学生在解答等差数列{a}的前m项和S的过程中，往往由于思维惯性，经常将S，S-S，S-S成等差数列，误认为S，S，S成等差数列而导致解题出错。如在讲解“等差数列{a}中，S=10，S=30，求S.”问题时，教师引导学生在进行这一问题解答过程中，有意提醒学生，要注意解答该类问题过程中，要切实避免“S，S-S，S-S成等差数列，误认为S，S，S成等差数列”情况的发生。学生在教师的提醒和引导下，通过结合等差数列前n项和的性质解答方法，得出以下解题过程：
解：由条件得S=10，S-S=20，由性质得S-S=30，从而S=60.
总之，新课程教学目标的提出，为高中数学教师教学活动的开展提出了明确的要求，同时，通过对历年高考试卷命题知识点的分析，数列内容在整个试卷总分的比重较大，考查的内容中包含了等差数列的知识要点及其性质内容，有效地考查了学生逻辑思维推理能力、运算能力，以及运用数列中的知识和方法分析问题与解决问题的能力。因此，在等差数列知识教学中，教师要善于寻找规律，找出学生解题错误所在，实行“针对性”、“实效性”的解题活动，帮助学生改正解题中的错误方法，实现学生良好思维习惯和学习能力的有效形成。
注：“本文中所涉及到的图表、公式、注解等请以PDF格式阅读”
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