如何证明齐次线性方程组有非零解【证明齐次线性方程组同解的一种新方法】
时间：2019-01-08 03:23:05 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
摘 要： 关于齐次线性方程组同解的证明方法很多，但在抽象矩阵情况下这些方法是不实用的.基于AX=0与BX=0的互推是通过矩阵的加法（减法）、数量乘法、乘积运算或这三种运算的复合运算实现的，从矩阵的加法（减法）、数量乘法、乘积三个方面出发阐明了抽象矩阵情况下证明齐次线性方程组同解的一个新方法。
关键词： 齐次线性方程组 同解 抽象矩阵
1.引言
文献［１］给出了齐次线性方程组同解最基本的定理“如果两个齐次方程组同解，那么它们必定能够经过初等变化互化”.本文中称之为定理1.文献［２］、文献［３］分别给出了更强的定理，即定理“设A、B为m×n矩阵，则齐次线性方程组AX=0与BX=0同解的充分必要条件是存在可逆矩阵p，使得pA=B.”和定理“设有齐次线方程组AX=0与BX=0，则AX=0与BX=0同解的充分必要条件是r（A）=r（B）=r.”本文中我们分别称之为定理2和定理3.文献则通过超平面等知识给出了齐次线性方程组同解更深刻的证明.
我们注意到通过定理1很容易证明定理3，而通过定理3又很容易证明定理2.但这三个定理在抽象矩阵情况下却很难证明齐次线性方程组同解.本文给出了在抽象矩阵情况下证明齐次线性方程组同解的更为实用的方法.
2.命题的给出及证明
命题n元齐次线性方程组AX=0与BX=0同解的充分必要条件是AX=0?圳BX=0.
首先，我们沿用文献中的关于矩阵的加法（减法）、数量乘法、乘积的定义.
命题的必要性是显然的，所以我们只证命题的充分性.AX=0与BX=0的互推是通过矩阵的加法（减法）、数量乘法、乘积运算或这三种运算的复合运算实现的，所以只要在矩阵的加法（减法）、数量乘法、乘积这三种单独运算情况下命题的充分性成立，则复合运算情况下命题的充分性必然成立.因而，我们只需从矩阵的加法（减法）、数量乘法、乘积三个方面来证明命题的充分性，在证明过程中我用到了文献中列向量组的概念.
2.1从矩阵的加法（减法）方面
AX=0?圯BX=0，设AX=0，BX=0，CX=0，A+C=B且A、B、C均为m×n矩阵，X为n×1矩阵.则（A+C）X=0与BX=0等价.这样就通过矩阵的加法（减法）实现了AX=0?圯BX=0.
此时，b=a+c，i=1，2，…，m；j=1，2，…，n
即［ββ…β］=［α+γα+γ…α+γ］
又因为αx+αx+…+αx=0，γx+γx+…+γx=0，
所以x，x，…x必然满足βx+βx+…+βx，
即AX=0的解是BX=0的解.
BX=0?圯AX=0.同理，BX=0的解是AX=0的解.
所以n元齐次线性方程组AX=0与BX=0同解，命题的充分性成立.
2.2从矩阵的数量乘法方面
此情况下证明比较简单，这里不再赘述.
2.3从矩阵的乘积方面
AX=0?圯BX=0.设AX=0，BX=0，且DA=B，FB=a，则DAX=0与BX=0等价，这样就通过矩阵的乘积实现了AX=0?圯BX=0.此时，
［β β … β］=D［α α … α］
又因为Dαx+Dαx+…+Dαx=0，
所以x，x，…x必然满足βx+βx+…+βx=0，
即AX=0的解是BX=0的解.
BX=0?圯AX=0.同理，BX=0的解是AX=0的解.
所以n元齐次线性方程组AX=0与AX=0同解，命题的充分性成立.证毕.
必须指出，在2.3中A、B不一定为同型矩阵.
3.应用例子
例1.设A=（a）为m×n矩阵，证明：秩（AA）=秩（AA）=秩（A）.
证明：首先证AAX=0与AX=0同解.因为AX=0的解一定是AAX=0的解，而又因为AAX=0?圯XAAX=0?圯（AX）（AX）=0，即AAX=0的解为AX=0的解，所以AAX=0与AX=0同解，再由定理3的必要性知R（AA）=R（A）=R（A）.
同理可证AAX=0与AX=0同解.因为AX=0?圯AAX=0，又因为AAX=0?圯XAAX=0?圯（AX）（AX）=0?圯（AX）=0，即AAX=0与AX=0同解.再由定理3的必要性知R（AA）=R（A）.
综合上述，可知秩（AA）=秩（AA）=秩（A）.
例2.已知n×m矩阵A的列向量是齐次线性方程组MX=0的基础解系，B是m阶可逆矩阵，试证AB的列向量也是齐次线性方程组MX=0的基础解系.
证明：设A=（α，α，…α，）
A的列向量是齐次线性方程组MX=0的基础解系，即MA=0，方程左右两边同时右乘B，则MAB=0，即M（AB）=0，所以AB的列向量也是齐次线性方程组MX=0的解。而B是m阶可逆矩阵，所以r（A）=r（AB）=m，则AB的列向量组线性无关且个数依然为m，即齐次线性方程组MX=0基础解系中所含向量的个数，所以AB的列向量也是齐次线性方程组MX=0的基础解系。
例2中虽然没有直接用到本文中的命题，但在证明“AB的列向量也是齐次线性方程组MX=0的解”时用到了2.3中的思想，这也是学习数学最重要的一点，即我们更注重方法的掌握而不仅仅是定理的应用。
参考文献：
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