求极限lim的典型例题 [函数极限教学中的“一题多解”]
时间：2019-01-07 03:24:32 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
摘 要： 求解函数极限有多种方法。在教学中讲解能“一题多解”的例子，尤其一些重要求解方法：利用两个重要极限，洛必达法则，等价无穷小代换等，对培养学生发散性思维和创新思维，增强学生学习高等数学的兴趣能起到很大作用。
关键词： 函数极限 一题多解 洛必达法则等价无穷小代换
函数极限是高等数学教学中的一个重点知识。教学中关键要让学生掌握函数极限的定义和求解方法。函数的求解有多种方法，为了让学生更好地掌握函数极限的多种求解方法，在教学中可以多讲解一些“一题多解”的例子。如若学生在求函数极限时，能做到一题多解，表明学生对函数极限求解的知识掌握透彻，能自如地求解函数极限。如此能培养学生的发散性思维和创新思维，增强学生学习高等数学的兴趣。
现举两个能“一题多解”的例子。
例1.求sinx.
分析：该题是1型的未定式，我们可通过利用重要极限（1+x）=e来求解，也可将sinx化为e来解题。
解法一：利用重要极限（1+x）=e及三角函数和差化积公式来求解。
sinx=［1+（sinx-1）］
∵（sinx-1）tanx=・sinx
=・sinx
=・sinx=0×1=0
∴sinx=e=1
解法二：用洛必达法则来求解。
sinx=［1+（sinx-1）］
∵（sinx-1）tanx===-=0
∴sinx=e=1
解法三：利用洛必达法则。
sinx=e
∵tanx・ln（sinx）===-sinx・cosx=0
∴sinx=e=1
注：解法一利用的是重要极限（1+x）=e来求解，解法二和解法三都是利用洛必达法则。相比较而言，利用洛必达法则求解更为简便。
例2.求.
解法一：利用重要极限=1及等价无穷小代换来解题。
=（・）
∵x→0时，secx-1与x是等价无穷小
∴=1・=
解法二：利用等价无穷小代换解题。
=
∵x→0时，tanx~x，（1-cosx）~x
∴=
注：该题的两种解法都是用等价无穷小代换来解题。第二种解法简单些。掌握了这两种解法，能说明学生能灵活地运用等价无穷小代换求解极限。
课堂上举能“一题多解”的例子，能让学生更好地掌握函数极限的求解方法，也能让学生学习高等数学的兴趣得以提高。
参考文献：
［1］同济大学应用数学系.高等数学（上册）［M］.北京：高等教育出版社，2002.
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