俄罗斯平面几何问题及_平面几何定值问题的探求

时间：2018-12-26 03:31:33　来源：雅意学习网本文已影响人

　　摘要：本文通过分析图中变动部分与固定部分的关系，图中变动部分的特殊位置和固定部分之间的关系，以及运用面积计算的方法、三角相关知识、解析几何方法、综合分析等方法，探求了平面几何的定值问题。
　　关键词：平面几何定值问题探求
　　
　　几何定值问题是不少学生难以理解与掌握的。因为这类问题虽然以证明题的形式出现，却又不知道证明结果是什么，所以学生不知从何下手。因此学生学习这类问题普遍感到困难，对这类问题的解决也缺乏信心。本文主要从以下几方面谈谈如何对几何定值问题的探求作一些归纳。
　　所谓几何定值问题，就是命题的条件中，一部分几何元素是固定的，而另一部分元素则可在一定范围内变动，但与此变动元素相关联的某种几何量（线、角、弧、面积）或其和、差、积、比等的值却保持不变，这就是定值。
　　证明定值问题，就是证明它可以用已知量的确定关系来表示。证明几何定值问题，关键有二：一是把这个“定值”设法探求出来，二是再把它转化成一般的证明问题。
　　下面谈谈探求几何定值问题常用的方法：
　　
　　一、运动法
　　
　　1.分析图中变动部分与固定部分的关系，以探求定值。
　　例1.过两圆的一交点P任作两直线，交一圆于A、B，交另圆于A′、B′。求证：AB和A′B′的交角为常量。（如图1）
　　分析：变动部分：割线APB′、A′PB，∠ASA′可以不断改变。若过点P分别作两圆的切线PM、PN，则∠MPN角（不变）。那么，∠MPN是否与∠ASA′相等呢？
　　证明：连结QB、QP、QA′，
　　则∠ASA′=∠ASB′=180°-（∠SAB′+∠SB′A）
　　=180°-（∠BQP+∠PQA′）=180°-∠BQA
　　=∠QBA′+∠QA′B=∠QPN+∠QPM
　　=∠MPN（定值）
　　2.从图中变动部分的特殊位置和固定部分之间的关系，探求定值。
　　例2.等腰三角形ABC两腰与直径在底边BC上的半圆相切于P、Q，MN是半圆的切线，切半圆于R，交两腰于M、N。求证：BM•CN为定值。（如图2）
　　分析：取MN的特殊位置，探求定值。令M趋近于P，则N趋近于A，PN是MN的极限位置。此时有MB•CN=BP•AC。而AB=AC，故BM•CN=BP•AB。连结OA，OP，在Rt△AOB中，OP⊥AB，由射影定理可得OB =BP•AB。由于OB是定值，所以BM•CN=OB （定值）。
　　下面证明一般情况下成立连结OP、OM、ON、OQ，于是∠1=∠6，∠2=∠3，∠4=∠5，
　　∴∠BOM+∠4=∠1+∠2+∠4= ×180°=90°。
　　又∠ONR+∠4=90°
　　∴∠BOM=∠ONR=∠ONQ。
　　在△BOM和△CON中，∠BOM=∠ONC，∠B=∠C。
　　∴△BOM∽△CON，有 = ，即BM•CN=OB•OC=OB （定值）
　　
　　二、计算法
　　
　　1.运用面积计算方法探求定值。
　　例3.（如图3），O为△ABC内任一点，AO、BO、CO的延长线交BC、CA、AB于D、E、F。
　　求证： + + 是定值。
　　分析：O为动点，所以OD、AD，OE、BE，OF、CF均为动线段，但已知三角形的面积不变，有关线段不变，所以可通过面积计算的方法，边计算边证明。
　　证明：设△BOC的面积为S ，其他类同。作OG⊥BC于G，作AH⊥BC于H。
　　∵△ODG∽△ADH，
　　∴ = 。
　　又 = = = （1）
　　同理 = （2）
　　 = （3）
　　由（1）+（2）+（3）得 + + = =1（定值）。
　　2.运用三角相关知识探求定值。
　　例4.如图4，正三角形ABC，P是△ABC外接圆上的任一点。求证：PA +PB +PC 为定值。
　　分析：平方和（差）的定值问题一般用计算方法。计算过程常用勾股定理、余弦定理、正弦定理、面积公式、中线定理、圆幂定理等等。这里我们根据条件用余弦定理加以计算。
　　探求：当P取到点A时，有PA +PB +PC =AB +AC =6R （定值）。
　　下面证一般情况下成立：
　　不妨设点P在上，易知PA=PB+PC。
　　故PA +PB +PC
　　=（PB+PC） +PB +PC
　　=2（PB +PC +PB•PC）
　　=2（PB +PC -2PB•PCF•cos120°）
　　=2（PB +PC -2PB•PC•cos∠BPC）
　　=2BC =6R （定值）。
　　3.利用解析几何方法探求定值。
　　例5.由定圆O外一点P引任意割线PAB（不过圆心）。
　　求证：tg ∠AOB•tg ∠BOP为定值。
　　分析：选定适当的坐标系，把问题转化为一个有条件的代数式或三角式去解决。
　　证明：取过O，P的直线为x轴，圆心O为原点，建立直角坐标系（如图5）。P，A，B的坐标如图所示，a为定值。
　　∴tg •tg = • = =
　　= （1）
　　设直线PAB的方程为y=k（x-α），k为斜率。代入圆O的方程x +y =r ，得x +k （x-α） =r ，即（1+k ）x -2ak x+a k -r =0
　　∴x +x = ，x •x = 。
　　故r ±（x +x ）r+x x =r ± r+
　　= = 。
　　代入（1）得tg •tg = = （定值）。
　　
　　三、综合分析法
　　
　　有不少题目单独用上述二种方法并不方便，我们可以采用综合分析的方法。此法特点首先是分清定动，然后根据已知条件和有关定理等变量用已知量的函数式来表示，从而解决问题。
　　例6.在等腰三角形ABC的底边上任取一点D，过D作BC的垂线和两腰或其延长线相交于E，F，则ED+FD为定值。
　　分析：已知等腰三角形，ED，FD为变量。如果能用已知等腰三角形的有关元素和有关角的函数来表示，问题即迎刃而解了。
　　证明：如图6，设∠B=∠ACB=∠α，
　　则FD=CD•tgα，ED=BD•tgα，
　　∴ED+FD=（CD+BD）•tgα=BC•tgα（定值）。
　　总之，定值问题较一般问题需要多思考一步，解这类问题有利于巩固我们所学的基础知识，提高思维能力。我们可以通过探讨，寻找这类问题的解题规律。
　　
　　参考文献：
　　［1］朱德祥，朱维宗编.初等几何研究［M］.高等教育出版社，2003.1，第2版.
　　［2］陈明耀编.中学数学中的定值问题［M］.天津科学技术出版社，1985.8，第1版.
　　
　　注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
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