什么情况下只能用定义求导数_只能用导数知识解决吗？
时间：2020-02-27 07:26:31 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
前不久，高一学习完《函数的单调性》这一节内容后，在高一年级的一次测验中碰到了下面一个题目： 设函数f(x)的定义域为［-1，0)∪(0，1］，且f(-x)=-f(x)，当x∈［-1，0)时，�f(x)=2ax+1x�2(a为常数).
(1)求当x∈(0,1］时，f(x)的解析式；
(2)若f(x)在区间(0，1］上为增函数，求a的取值范围；
(3)求f(x)在区间(0，1］上的最大值.
分析：部分教师认为，此题必须用导数知识才能解决.果真只能用导数知识解决吗?高一没学《导数》相关内容.经过仔细分析，我发现此题用函数的单调性的定义也能解决.
解：(1)当x∈(0，1］时，-x∈［-1，0)，则由题意有-f(x)=f(-x)=2a(-x)+1(-x)�2,即f(x)=2ax-1x�2.∴当x∈(0，1］时，f(x)=2ax-1x�2.
(2)设x�1,x�2∈(0，1］且x�10,�∴2ax�2�1x�2�2+x�1+x�2>0恒成立.∴a>-x�1+x�22x�2�1x�2�2对x�1,x�2∈(0，1］且x�10,∴y>1,即x�1+x�22x�2�1x�2�2>1,∴-x�1+x�22x�2�1x�2�20,∴x�2=-31a∈(0,1］.数-31a把区间(0，1］分成两部分，下面分两种 情况讨论函数f(x)的单调性：
(�i�)当00,�∴该抛物线与x�1轴有两个交点，又由对应方程(关于x�1的方程)2ax\+2�2x�2�1+x�1+x�2=0的两根之积为12ax�20,且g(0)=x�2>0,g(x�2)=2ax�4�2+2x�2=2x�2(ax�3�2+1)≥0，∴抛物线如图1所示，由图知y=g(x�1)=2ax�2�2x�2�1+x�1+x�2>0,对00,g(-31a)=2ax�2�231a-31a+x�2=23ax�2�2+x�2-31a=(3ax�2+1)•(2x�2-31a) ,由x\-2>-31a得3ax�20,
∴g(-31a)0,∴由图2知：抛物线上x�1=-31a对应的点在对称轴右边且在横轴下方.又g(x�2)=2ax�4�2+2x�2=2x�2(ax�3�2+1)f(x�2),∴f(x)在�［-31a，1］上为减函数.∴f(x)在(0，1］上，当x=-31a时f(x)最大.即f(x)�max�=�f(-31a)=-33a�2,综上所述：
f(x)�max�=2a-1 (a≥-1),
-33a�2 (a
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