高等数学专升本试题【高等数学为背景的自主招生试题】

时间：2020-02-23 07:32:01　来源：雅意学习网本文已影响人

　　本文对近几年以高等数学为背景的自主招生试题的题型作一归类与评析，供同学们参考。　　一、概念型　　高等数学的很多概念是中学数学的延续，命题者往往以高等数学中的基本概念为切入点，命制一些高中数学教材中涉及到而未给出具体定义的，或是直接给出高等数学中的新概念的试题。学生需阅读题目中所包含的信息，并将高等数学的信息与初等数学知识灵活地结合来解决问题。
　　例１（2004年复旦大学）若存在M，使任意为函数的定义域），都有，则称函数有界，问函数在上是否有界。
　　解析：否。取，则当趋向于正无穷时，趋向于正无穷。
　　评析：本题是以高等数学中的有界函数概念作为背景，来判断函数是否为有界函数的一类试题。从所给的信息知道，判断f(x)是D上的有界函数，是否存在M（M＞0且对任意x∈D），求|f(x)|的值域，要求学生有较强的知识转化能力。此题是通过取特殊值，确定函数在上可以趋向于无穷大，从而确定其不是有界的。
　　例２ (2010年复旦大学)设集合是实数集的子集，如果点满足：对任意，都存在，使得，则称为集合的聚点。用表示整数集，则在下列集合： (1) ； (2)；(3) ；(4)整数集中，以0为聚点的集合有()
　　A. (2) (3)B. (1) (4) C. (1)(3)D. (1)(2)(4)
　　解析：“聚点”这个概念根据定义，应理解为以任意无穷小为半径，以为圆心的圆内都至少有的一个元素（不包括）。对集合（１），若取，则不存在满足。显然（２）、（３）是以０为聚点。对（４），若令（不是唯一的取法，也可取，只要均可），则也不存在使得，综上，应选Ａ。
　　评析：直接定义高等数学中“聚点”的概念，解此类新定义型题时应在仔细阅读分析材料的同时，要认真领会定义的实质，尤其是定义中隐含的或特殊情形，结合所学的数学知识和方法，通过对定义的仔细推敲和概念的全面认识使问题获解。
　　二、性质型
　　以高等数学有关性质为背景的自主招生试题经常出现，例如函数图像的凹凸性、拉格
　　朗日中值定理以及极限思想等。
　　例3 （2010年华中师范大学）已知当时，函数的图像如图１所示。
　　（１）设，试用的图像说明
　　当时，不等式 ①成立。
　　（２）利用（１）中不等式证明：若，则
　　对于任意的正数，不等式 ②成立。
　　（３）当，且时，求的最小值。
　　解析：对于（１）要求利用图像解释不等式①成立，这就需要将代数语言转化成几何语言。在的图像中解析的几何意义，再利用这些几何意义说明不等式①成立，从而有如下解法：
　　设，由图２可知，当时，有
　　
　　即
　　对于（２）要求用不等式①证明不等式②，此时要求
　　学生明确不等式①成立的条件，并将不等式②与不等式①
　　作比较分析，选择适当的代数变形方法。由于不等式①成立的条件是，将②式两边次幂，则不等式②等价于 ③
　　由于，由①易得③。
　　对于（３），可由不等式①求解，
　　将做适当的代数变形即有：
　　
　　所以等号当且仅当时成立。
　　还可由不等式②求解：
　　因为故有，从而等号当且仅当时成立。
　　评析：所谓“高等背景，初等解法”，没有现成解法或套路可模仿，要灵活运用所学知识。
　　三、结论型
　　在高等数学中很多结论与中学数学比较靠近，这些既是中学数学的重要知识，也是高等数学中的基础知识，其中某些结论只要稍加叙述和改造，就可以以中学数学的形式出现，这样的试题既可以考察学生能力，又有利于高等数学与中学数学的紧密结合。
　　例4(2010年南开大学)求证：
　　解析：令
　　
　　单调递增。
　　又，
　　则单调递增。
　　，即。得证。
　　评析：这个问题本质上是高等数学中的的泰勒展开式：的前两项的放缩。
　　准备自主招生，可以适当地关注一些高等数学结论，但不要花太多时间，重要的是思想方法，而不是结论本身。
　　责任编辑李婷婷

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