【千万别因“小”失“大”】因大失小

时间：2020-02-23 07:29:10　来源：雅意学习网本文已影响人

　　正弦定理和余弦定理是我们解三角形的两个有力工具.但在利用这两个定理解题时，若审题不清或考虑不周，就会出现一些错误. 　　一、不熟三角变换　　例1在△ABC中，若tanAtanB=a2b2，试判断 △ABC的形状.
　　错解尝试将边转化为角来考虑.
　　由正弦定理，得 = ，于是有 = . 因为A，B为三角形的内角，所以sinA>0，sinB>0，所以 = ，即sinAcosA=sinBcosB，从而sin2A=sin2B，得2A=2B，即A=B，所以△ABC是等腰三角形.
　　剖析由sin2A=sin2B，得2A=2B，即A=B，所以 △ABC是等腰三角形.这是三角变换中常见的错误，原因是不熟悉三角函数的性质，三角变换生疏.
　　正解因为sin2A=sin2B，所以2A=2k+2B，或2A=2k+2B（k∈Z）. 又00，b>0，所以>0，所以01. 因此实数a的取值范围是（1，3）.
　　反思三条线段欲构成钝角三角形，要满足两个条件:①三条边满足三角形边长关系；②最长线段的对角是钝角. 这两个条件缺一不可.设计出完整的解题过程，是正确解题的关键，这个解题前的细节，你重视了吗?
　　五、解决实际问题时忽略实际情况
　　例6在某花卉展览会上，有一块边长为1的等边△ABC的土地. 现计划在其上种两种不同的花卉. 图1中的PQ将两种花卉隔开，并要求将土地分成面积相等的两部分.若PQ位置放水管，为了省钱，希望最短，应该怎样确定PQ的位置?并说明理由.
　　错解要求的是PQ的最小值，可以适当选择自变量x，尝试建立PQ关于x的函数关系式PQ=f（x）来求解.
　　△ABC的面积S=，△APQ的面积S△APQ=APAQsin60� S= ，所以APAQ=.
　　设AP=x，PQ=y，则AQ=.
　　由余弦定理，得y2=AP2+AQ22APAQcos60�，可得y2=x2+= +①. 于是当x=，即x=时，y有最小值. 此时AP=AQ=PQ=，即△APQ也是正三角形.
　　剖析这里虽然结果正确，但是过程却很不严密.错因是:当选择线段AP长为自变量，即设AP=x，利用余弦定理，建立函数关系PQ=f（x）来求解时，忘记考虑定义域，即没有考虑x的取值范围.
　　正解注意到AQ=≤1，所以≤x≤1. 由①知当x=，即x=∈时，y有最小值.
　　反思本题是通过建立函数模型求解的，其关键是适当地选择自变量，建立目标函数，并求出函数的定义域.求定义域这个细节你注意到了吗?
　　从上述各例中我们可以看到，对于上述几类错误，只要我们稍加注意，就完全可以避免，因此在解题时，我们要养成认真审题、周密思考的习惯，千万不要因“小”失“大”！
　　
　　1. （1）在△ABC中，已知B=30�，b=3，c=3，则a=______________；
　　（2）在△ABC中，已知a=2，b=2，C=15�，则A=____________.
　　2. 若a，b，c是三角形的三边长，证明长为，，的三条线段能构成锐角三角形.
　　3. 在不等边△ABC中，a为最大边，如果a2c，于是cos>0.
　　又因为+= = =+>0，所以长为，，的三条线段能构成锐角三角形.
　　3. .4. 最大值为，最小值为.

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