基于线性规划的角度探讨含双参数的数学问题数学线性规划解题技巧

时间：2019-05-11 03:13:38　来源：雅意学习网本文已影响人

　　摘要：线性规划是以不等式（或不等式组）为基础，一般考查学生对数形结合思想的应用能力．但它对一些双变量或含双参数问题的处理有着独到的不可忽视的作用．本文试着从五个方面来阐述站在线性规划的角度探讨双变量或含双参数的数学问题．
　　关键词：多变量；最值；策略
　　
　　数学枯燥，数学难学，成为一部分学生对数学望而生畏的缘由，作为数学教师，我们应该反思．如何让数学内容生动，数学教学别样，数学课堂精彩，这取决于教师在教学时，如何多角度多层次地展开数学教学，用联系和变化的观点演绎数学．对于一些数学问题，如果仅从表象分析，只是属于某类数学问题的范畴，但如果另辟蹊径从另外的视角求解，充分发掘数学知识之间的横向联系，就会打开另一扇门，展现出另一个奇异的世界．双参数数学问题，就是这种新视角研究的一个很好的范本．这种双参数数学问题，若采用主客元换位的思维方式，从线性规划的视角来理解与演绎，就可激发学生对数学学习的热情和兴趣．究其因，主要是以这样的视角看问题与开展教学活动，可以让学生从一个崭新的角度去欣赏数学、学习数学．通过欣赏别样的风景来产生愉悦的体验，从而提高学习的积极性．
　　基于线性规划的角度探讨方程问题
　　一个方程含有双变量或双参数，并通过方程条件，建立了参数之间的联系．若从方程条件入手分析，双变量或双参数就会成为解题中的复杂因素，如果我们利用线性规划思想，把方程条件转换成双参数的可行域，利用线性规划的思想来解题，则可简化解题．
　　例1 设x，y为实数，若4x2+y2+xy=1，则2x+y的最大值是________．
　　（2011年浙江高考理科第16题）
　　解析：由4x2+y2+xy=x2++y2=1，可令+y=b，x=a，于是
　　a2+b2=1且x=，y=b－，从而z=2x+y=+b．所以，原问题等价于已知P（a，b）是单位圆a2+b2=1上一动点，求z=+b的最大值问题．不难得到当直线b=－+z与单位圆相切且位于圆上方时z有最大值．
　　点评：本题若用不等式的角度求解，这对不等式的变形以及等与不等之间的转换要求较高，而这往往又是学生思维的难点，而从几何的视角——线性规划的知识来求解此题，可以渗透数形结合的数学思想方法，提供操作性较强的运算方法，更主要的是可以开阔学生的数学眼界和思维，发展学生的创新能力．此题也可以构造椭圆4x2+y2+xy=+=1求解，方法类似，读者不妨一试．
　　例2 设集合A（p，q）=｛x∈Rx2+px+q=0｝，当实数p，q取遍［-1，1］的所有值时，求所有集合A（p，q）的并集．
　　解析：将方程x2+px+q=0看做关于p，q的二元一次方程px+q+x2=0，它表示一条直线．当实数p，q取遍［-1，1］的所有值时，点（p，q）满足的条件可转化为图1中阴影部分的区域ABCD，由题意得直线与此区域有公共点，从而只需满足
　　x≥0，x2－x－1≤0 或x

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