合同变换几何意义【利用合同变换证明几何中的等量关系】
时间：2019-01-09 03:26:54 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
几何证明题常用到构造合同变换（即全等变换）来证明几何中等量关系，合同变换主要有三种，即平移变换、轴对称变换和旋转变换.现分别对这三种变换作具体说明. 一、平移变换
平移变换是通过作平行线的手段把图形中的某条线段或某个角移到一个新的位置上，使图形中分散的条件与结论有机地联系起来.我们几何中常见辅助线，如倍长中线、三角形的中位线、梯形中平移腰、平移对角线等，本质上都是平移思想.平移一般可分为三种情况：
（1）平移条件，即把图形中的某个条件平移；
（2）平移结论，即把结论中的线段或者角平移;
（3）平移条件和结论，即把图形中的条件和结论同时平移.
现用下面例子对平移的三种情况分别作说明.
例1：四边形ABCD中，AD=BC，E、F分别是DC、AB的中点，直线EF分别与BC、AD的延长线交于点G、H.求证：∠AHF=∠BGF.
分析：本题条件比较分散，解本题的关键是将分散的条件集中在一个三角形中.若用平移结论的方法，则可把结论中的两个角平移到同一个三角形中，故可这样添辅助线（如图1）：连结AC，取AC的中点M，边结ME、MF.由ME、MF分别是△ACD、△ACB的中位线，得ME∥AD，MF∥BC，∠AHF=∠MEF，∠BGF=∠MFE，从而将结论中的两个角∠AHF，∠BGF平移到同一个三角形△MEF中，故只要证ME=MF.因为AD=BC，又由中位线定理得ME、MF分别为AD、BC的一半，所以ME=MF，故命题得证.
若用平移条件的方法，如图2，可连结AC，将线段CB沿CA平移到AM位置，连结BM、CM、DM，这样就把条件中的线段AD、CB集中到△ADM中，可得AD=AM，故∠1=∠2，又由于AM∥CB且AM=CB，故四边形AMCB为平行四边形，故对角线CM、AB互相平分，即CM过点F，可得BF为△CDM的中位线，BF∥DM，∠2=∠AHF.又由于BF∥DM，AM∥CB，所以∠1=∠BGF，故∠AHF=∠BGF.
若用平移条件和结论，如图3，将线段DA沿DE方向平移到EQ，连结AQ，则四边形DEQA为平行四边形，EQ、DA平行且相等，DE、AQ平行且相等.同样将线段CB沿CE方向平移到EP，连结BP，同理可得CB、EP平行且相等，CE、BP平行且相等.所以EQ=EP，∠1=∠AHF，∠2=∠BGF，BP、AQ平行且相等，可证△FAQ≌△FBP，所以AQ=AP，再根据等腰三角形三线合一得到∠1=∠2，故∠AHF=∠BGF.
二、轴对称变换（反射变换）
轴对称变换是通过作图形关于直线的对称图形的手段，把图形中的某一图形对称地移到一个新的位置上，使图形中的分散条件和结论有机地联系起来.轴对称变换应用时通常有两种情况：⑴图形中有轴对称图形条件时，可考虑用此变换.⑵图形中有垂线条件时，可考虑用此变换.现举例说明.
例2：在四边形ABCD中，∠ADB=∠ABC=105°，∠BAD=∠C=45°，作AE⊥BD，垂足为E，求证：CD=2AE.
分析：本题思路即将题中分散的条件与结论集中起来，构造轴对称，可以作A关于直线BD的对称点F，连结DF、BF交CD于G，由∠ADB=105°，∠BAD=45°得∠ABD=30°，故∠FBE=30°，所以△ABF是等边三角形，BF=2AE.只要证CD=BF，因为∠ABC=105°，∠ABF=60°，所以∠FBC=45°.又∠C=45°，所以∠BGC=90°，又∠BAD=∠BFD=45°，所以△GBC和△DGF都是等腰直角三角形，所以BG+GF=CG+GD，即BF=CD，故命题得证.本题如果作C关于直线BE的对称点，方法类似.
三、旋转变换
旋转变换是通过将图形中某一图形绕一定点旋转一个角度，使之转移到一新位置上，使图形中的分散条件和结论有机地联系起来.旋转变换常用于有等腰三角形条件的题目中.旋转变换通常有下面三种情况：（1）当题目条件中有正方形或等腰直角三角形时，常将图形绕直角顶点旋转90°.（2）当题目条件中有等边三角形时，常将图形绕等边三角形一顶点旋转60°.（3）当题目条件中有等腰三角形时，常将图形绕等腰三角形顶角的顶点旋转顶角的度数.举例如下：
例3：正△ABC中，D在△ABC外，且∠BDC=120°，DB=DC，E在AB上，F在AC上，且∠EDF=60°，求证:△AEF的周长=2AB.
分析:图中△BDC为顶角为120°等腰三角形，可考虑将△BDE绕点D顺时针旋转120°到△CDG的位置.再证△EDF≌△GDF，可得EF=GF=CG+CF=BE+CF，所以△AEF的周长=AE+AF+BE+CF=AB+AC=2AB.
例4：在△ABC中，AB=AC，P为△ABC内一点，且∠APB=∠APC.求证：△BCP是等腰三角形.
分析：本题△ABC为等腰三角形，可考虑将△ABP绕点A逆时针旋转∠PAC的度数得△ACD，则AP=AD，PB=CD，∠APB=∠ADC=∠APC，所以∠1=∠2，所以∠APC－∠1=∠ADC－∠2，即∠3=∠4，所以PC=CD，PB=PC.
综上所述，对具体的题目，要求分析题中的条件和结论，选择合理的方法，构造正确的变换，灵活地运用合同变换，在解几何等量关系的题中能起到事半功倍的效果.
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