异面直线所成的角求法【两条异面直线间距离的多种解法】
时间：2018-12-25 03:23:35 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
摘要： 文中通过例题分析了求解异面直线距离的多种方法，教学实践表明效果显著。 关键词： 异面直线 求解 例子 笔者在教学过程发现求解异面直线的距离一直困扰很大部分学生，而往往考试又是从多角度进行该问题的考查。因此，根据自己的教学实践和学生们出现的问题，笔者总结出以下四种求解异面间的距离的方法，供同行参考。
1 定义法
找到异面直线的公垂线段，然后求解。
例1.空间四边形ABCD中，如图1所示，AD=AC=BD=BC=a，AB=CD=b，E、F分别为AB，CD的中点，求直线AB与CD的距离。
解：△ABC和△BCD中，AD=AC=BD=BC=a，
则△ABC≌△BCD
∴AF=BF
又E是AB中点
∴EF⊥AB
同理，EF⊥CD
∴EF是AB、CD的公垂线
在Rt△ADF中，AF =AD －DF =a － b
在Rt△AEF中，EF=
= =
2 公式法
已知两条异面直线a，b所成的的角为θ，在直线a、b上分别取E、F两点，如图2所示，已知AE=m，AF=n，EF=l，公垂线AB=d，则有d= 。
例2.α-β的二面角的棱上，有两个点A、B，AC，BD分别是在这个二面角的两个面内垂直于AB的线段，已知AB=4cm，AC=6cm，BD=8cm，AC、BD所成角为60°如图3所示，求ＣD的长。
解：根据公式有AB=
∵CD =CA +AB +BD +2CA•BDcos60°
即CD =36+16+64+12=164
∴ CD=2
［点评］直接应用公式要特别注意两点:一是±的选取，二是θ是异面直线所成的角。
3 转化为直线到其平行平面的距离
直线a，b是异面，直线c∥直线a且与直线b相交，设直线c，b确定平面α，则异面直线a，b的距离为直线a到平面α的距离，如图4所示。
证明：设线段AB是异面直线a，b的公垂线段，则AB⊥a，
∴直线c∥直线a
∵ AB⊥c
又AB⊥b
∴AB⊥面α
∴线段AB的长是直线a到平面α的距离。
例3.已知AC与BD的公垂线AB＝４，AC=2，BD=3，CD=4 ，如图5所示。求AB与CD的距离。
解：过点D做DE AB，连接EC，EA，则AB到平面DEC的距离为异面直线AB与CD的距离。
作AN⊥EC于N，
∵DE⊥面AEC
∴面DEC⊥面AEC
又AN⊥EC
∴AN⊥面DEC
∴线段AN的长为所求的距离。
∵CE= =4
∴AN= sin∠EAC= sin∠EAC
又cos∠EAC= =
∴sin∠EAC=
∴AN==
4 利用向量求异面直线的距离
A B 是异面直线AA ，BB 的公垂线， 是A B 的方向向量，如图5所示，则A B = 。
例4.已知边长为a的正方形ABCD-A B C D ，求 A C 与B C的距离。
解：如图6，建立空间直角坐标系则D(0，0，0)，A (a，0，a)，C (0，a，a)，B (a，a，a)，C(0，a，0)，
∴| |=（-a，a，0)，| |=(a，0，a)
设 =（x，y，z）为A C，B C的公垂线的方向向量
则 • =0 • =0?圯-ax+ay=0ax+az=0?圯y=xz=-x
令x=1，则 =(1，1，-1)又 =(-a，0，0)
由d= = = a。
(本题也可以用转化为直线A C 与平面ACB 的距离)
笔者把以上的方法传授给学生，测试表明，效果显著，达到了教学的预期效果。
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
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