[一堂排列组合答疑课及其思考] 排列组合c(5,2)怎么算
时间：2019-01-28 03:30:02 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
师:排列组合问题类型繁多,解法灵活,富于变化,许多同学知道“分步用乘,分类用加,有序排列,无序组合”的法则,但在解题过程中还是因概念不清、忽视条件、考虑不周等原因导致思维紊乱,最终解题出错。每次老师在讲评错题时,大家都听得懂,认为老师讲的方法都有道理,但有时你会觉得自己的方法好像也有道理,不知道究竟错在什么地方。
学生(普遍反映):是有这种情况。
师:那你们有没有花时间去弄清楚呢?这一点非常重要,如果不弄清楚自己解法出错的原因,下次碰到类似问题很可能还会出错。基于这个原因,我今天安排这堂课,就让大家问错题。
学生一:“把3个不同的球放入2个不同的盒子,一共有多少种不同的放法?”这道题我是这样做的:考虑2个盒子,第一个盒子里可以放1个球,2个球,3个球,也可能不放球,共4种情况;同样的第二个盒子也有4种情况,由分布计数原理可知一共有4×4=16种不同的放法。这个解答错在哪里呢?
师:这种解法首先是有重复,当第一个盒子里放1个球时,第二个盒子里就一定放2个球,不可能放1个或是3个球,也不可能不放球,因此这里必有重复现象;其次你对此问题的事件还不够清楚,这个问题里是要完成这样一件事“把球放入盒”,当3个球全部放入盒中时,这件事才算完成,所以应考虑3个球如何放,而不应该以盒子为考虑对象。正确解答是:第一个球有两种放法,第二、第三个球也都有两种放法,由分布计数原理可知一共有2×2×2=8种不同的放法。
学生二:“有9名医生,其中女医生5人,男医生4人,现从中抽调5名医生组成医疗小组前往灾区,若医疗小组至少有2名男医生,则一共有多少种不同的选派方法?”这道题我是这样做的:因为至少要2名男医生,所以先从4名男医生中选2人,有C种;然后在余下的7人中选3人;有C种,一共有CC=210种不同的选派方法。这个解答究竟错在哪里呢?
师:这是一类“至少”问题,你这种做法也是排列组合中一个常见错误,错在有重复,如“在第一步中选了甲、乙2名男医生,然后在余下的7人中选了丙、丁2名男医生和1名女医生”,这种选法和“在第一步中选了乙、丙2名男医生,然后在余下的7人中选了甲、丁2名男医生和那名女医生”是一样的。正确解答应是:(法一)从正面考虑,通过分类讨论列式如下,CC+CC+CC;(法二)从反面考虑,从9名医生中选5名医生共有C种,除去只有一名男医生和没有男医生的情况,列式如下C-CC-C。以后再碰到“至少”问题,不能这样做了,不然会产生重复。再比如:刚才学生一的问题中,改一下,“把3个不同的球放入2个不同的盒子,每个盒子至少放一个,一共有多少种不同的放法?”能不能这样做:先确保每个盒子放一个,有A种,然后将剩下的那个放入盒里,有2种,共有2A=12种。
学生(普遍回答):不能,也是出现重复现象,如“在第一步中选了甲、乙两个球分别放入1、2两个盒子,再把球丙放入1盒子”和“在第一步中选了丙、乙两个球,分别放入1、2两个盒子,再把球甲放入1盒子”这两种是一样的。
师:那么正确解答呢?
学生:这是“分配”问题,先将3个球分成2堆,有C种,然后将这2堆分给2个人,有A种,共有CA=6种。
师:非常正确。以后碰到“分配”问题,较好的方法是“先分堆,再分配”,这样计算既不会重复,也不会遗漏。
学生三:“8双互不相同的鞋子混装在一个口袋中,从中任意取出4只,4只鞋子中恰有1双,则共有多少种不同的取法?”这道题我是这样做的:第一步,8双里取1双,;第二步,余下的14只鞋子里选一个;第三步,除了和第二步里选的成双的那只,余下的12只鞋子里再选一只,共CCC=1344种。这个解法错在哪里呢?
师:这道题出错原因也是有重复,通过前面两个学生问了以后,大家应该能够自己找出重复的原因了,就是通过举某个具体的取法,看它是否和另一个具体的取法相同,大家找找看。
学生:把8双鞋子标号,如“第一步中取了1号那双鞋子,第二步中取了2号左脚那只鞋子,第三步取了3号左脚那只鞋子”和“第一步中取了1号那双鞋子,第二步中取了3号左脚那只鞋子,第三步取了2号左脚那只鞋子”这两种取法是一样的。因此答案应该再除以2,共有672种。
师:非常正确,我再讲一下另外一种正确解答:第一步,8双里取1双;第二步,另外两只鞋子因为不成双,必定来自不同的两双,所以先7双里取2双;第三步,2双里每双取一只,有2×2种,共有CC×2=672种。
学生四:“3名男生,4名女生排成一排,要求男生不能排在一起,共有多少种排法?”这道题我是这样做的:先排3名男生,有A种;然后4个空挡中让女生插入,有A种,共有AA=144种。这样排男生不是也不相邻吗?怎么比答案做到的少呢?
师:这道题错在审题不清,思维不严密,这里要求男生不相邻,但有没有要求女生不相邻呢?显然没有,你这种做法其实是让男女各不相邻,限制要求变高了,必定少解了。正确做法应是:先排4名女生,有A种,然后5个空挡中取3个让3名男生排,共有AA=1440种。所以做排列组合题,首先就是要审清题意,题目到底是怎样要求的,如与题意要求不符,便会漏解或重复。
作者单位:江苏启东市启东中学
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