关于托尔斯泰的评价_托尔斯泰提出的数学问题
时间：2019-01-19 03:19:51 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
列夫・托尔斯泰是一位世界闻名的大文豪，他在文学上的成就世人皆知。有趣的是他对数学也颇有研究，是一个不折不扣的数学爱好者，他提出并解答的一些数学问题至今仍为人们津津乐道。下面就向大家介绍两则。
【题目1】割草问题：一组割草人要把两块草地的草割掉，大的一块草地比小草地大1倍。上午全体组员都在大草地上收割，下午他们对半分开，一半人继续留在大草地上割草，到晚上把剩下的草割完；另一半人到小草地上收割，到晚上还剩一小块没割完，这块地由一个人用一天时间才割完。假定上、下午的劳动时间相同，每个割草人的工效也相等，问这组割草人有多少？
【分析】这个割草问题是人们议论最多也是解答思路最为自由的一道题，所以在托尔斯泰提出的问题中最为著名。值得一提的是，尽管各种解法各具特色，但我们不能忽略解答这道割草题的总体思路，那就是设法求出全组人一天完成割草量与一人一天完成的割草量的关系，再从这个比例关系中换算得到全组人数的特点。
托尔斯泰采用的分解和图示法是其中一种比较容易接受和理解的方法。即根据题意，全组人先割上午，接着半组人又割了下午才割完大草地，即两个半组半天割草量+一个半组半天割草量＝割完大草地。则一个半组半天割大草地的[13]，另一个半组在小草地割了半天，也就是大草地的[13]；又整个小草地是大草地的[12]，则剩下是大草地的（[12]-[13]）＝[16]，这是由一人一天完成的；另外因全组一天的割草量等于大草地的[43]（1+[13]＝[43]），由此可求出全组人数为[43]÷[16]＝8（人）。若借助下面的图形就更能直观理解。
【题目2】分牛问题：从前有个农夫死后留下一些牛。他在遗书中写道：“分给妻子全部牛的一半再加半头；分给长子剩下的一半再加半头；分给次子的是长子分剩下的一半再加半头；分给女儿最后剩下的一半再加半头。”结果一头牛也没有剩且正好全部分完。问农夫留下了多少头牛？
【分析】这道数学名题之所以引起广大数学爱好者的浓厚兴趣，是因为托尔斯泰给出的解答思路是数学解题中非常典型的逆推法。此题能充分体现这种解法的特点和优势。具体解答是：由4人均分得“一半再加半头”且“一头牛也没有剩”，可知每次剩下的牛数均为奇数（因为若是偶数的话，每人分到的牛数必定会有半头，这会不符合题意）。明白了这一点，又由女儿最后分得“一半再加半头后正好全部分完”，可判断前面的次子剩下的奇数只能是l，道理很简单，所有奇数中只有最小的1才符合这个要求，即1的一半加0.5还等于1。弄清了最后一个剩下的数1，就能很方便地依次向前逆推，可知前三个剩下的奇数分别为（1+0.5）×2＝3、（3+0.5）×2＝7、（7+0.5）×2＝15。亦即长子分后剩下的牛数为3头，妻子分走后剩下的牛数为7头，农夫留下的牛数为15头牛。
当然，我们还可以采用“添加法”更加快捷巧妙地解答，而且更容易理解和接受。就是把农夫留下了的牛数加上1头，那么问题就转化成非常简单的形式：根据农夫的分法，每次都是一半加半头，把加的一头也如此处理，那么问题就变成了每次分的都是总牛数（增加后的）的一半，连续这样分了四次后最后应剩下1头，那么再用逆推法就可以非常直观方便地得出留给女儿的牛数为2头，则留给次子的为2×2＝4头，留给长子的为4×2＝8头，留给妻子的为8×2＝16头，再减去当初增加的1头，即得农夫原来留下的牛为15头。
【题目3】房价问题：兄弟五人平分父亲遗留下来的三所房子。由于房子无法拆分，三所房子分别归老大、老二、老三所有。为了补偿，三个哥哥每人付出12000元给老四和老五，这样五人得到的遗产价值相同，现在的问题是每所房子价值多少钱？
【分析】既然“三个哥哥每人付出12000元给老四和老五”，则老四和老五每人各得到36000÷2＝18000元，相当于老四、老五每人得到了一间房子，只不过是以钱的形式得到的，所以每间房子的价格就是18000元，真的是这样的么？其实不然，如果这样解答，我们就落入了“直觉”想象的陷井。五人平分三所房子，可以肯定每人都没有得到一所房子的价值。另外我们还可以肯定的是：既然兄弟五人得到的遗产价值相同，而根据上面的分析知老四、老五各得到18000元，也就是兄弟五人得到的遗产如果用钱表示的话，都应该是18000元。明确了这一点，我们就可以理解下面托尔斯泰的简明解答。
老四和老五每人各得到12000×3÷2＝18000元，由于五人得到的遗产价值相同，即兄弟五人相当于每人都得到了18000元。则五人分的遗产总价值就是18000×5＝90000元，这也就是三所房子的总价。据此可以推断出每所房子价值为90000÷3＝30000元。
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